За кои стойности на параметъра а уравненията имат общ корен

[skadevil]

Здравейте! Може ли някой да ми обясни как се решаваха този тип задачи: За кои стойности на параметъра а уравненията x^{2} - а*x + 5=0 и x^{2} + 5*x - a=0 имат общ корен. Доколкото си спомням май ги слагахме в система и после трябваше да се елиминира x^{2} чрез вадене или събиране (зависи) , но не съм сигурен. Ще се радвам някой да помогне

[S.B.]

Здравейте! Може ли някой да ми обясни как се решаваха този тип задачи: За кои стойности на параметъра а уравненията $x^{2} - аx + 5=0 $ и $x^{2} + 5x - a=0 $ имат общ корен. Доколкото си спомням май ги слагахме в система и после трябваше да се елиминира x^{2} чрез вадене или събиране (зависи) , но не съм сигурен. Ще се радвам някой да помогне

Щом ще имат общ корен ,то те ще бъдат еквивалентни.
Един от вариантите е да имат еднакви коефициенти:
[tex]x^{2} - аx + 5 = 0 \Leftrightarrow x^{2} + 5x - a = 0 \Rightarrow a = -5[/tex]
Получава се $x^{2} + 5x + 5 = 0 $ и $x^{2} + 5x + 5 = 0$
Сега уравненията имат еднакви коефициенти и съответно еднакви корени.
Нека $a \ne -5$
$y_{1 } = x^{2} - ax +5 ; y_{2 } = x^{2} + 5x - a$
Тъй като уравненията ще имат общ корен, то графиките ще имат обща точка и $y_{1 } = y_{2 }$
$x^{2} - ax + 5 = x^{2} + 5x - a \Leftrightarrow x(5 + a) = a +5 $
Казахме,че $a\ne -5 \Rightarrow x = 1$ това е общият корен.Замествам:
$1^{2} -а.1 + 5 = 0 \Leftrightarrow 6 - а = 0 \Rightarrow а = 6$
Получаваме:
$x^{2} - 6x + 5 = 0 $ с корени $x_{1 } = 1 , x_{2 } = 5$
$x^{2} + 5x - 6 = 0 $ с корени $x_{1 } = 1 , x_{2 } = -6$
Отговор :
За $a = -5$ и двата корена са еднакви
За $a = 6$ имат общ корен $ x = 1$

[skadevil]

Здравейте! Може ли някой да ми обясни как се решаваха този тип задачи: За кои стойности на параметъра а уравненията $x^{2} - аx + 5=0 $ и $x^{2} + 5x - a=0 $ имат общ корен. Доколкото си спомням май ги слагахме в система и после трябваше да се елиминира x^{2} чрез вадене или събиране (зависи) , но не съм сигурен. Ще се радвам някой да помогне

Щом ще имат общ корен ,то те ще бъдат еквивалентни.
Един от вариантите е да имат еднакви коефициенти:
[tex]x^{2} - аx + 5 = 0 \Leftrightarrow x^{2} + 5x - a = 0 \Rightarrow a = -5[/tex]
Получава се $x^{2} + 5x + 5 = 0 $ и $x^{2} + 5x + 5 = 0$
Сега уравненията имат еднакви коефициенти и съответно еднакви корени.
Нека $a \ne -5$
$y_{1 } = x^{2} - ax +5 ; y_{2 } = x^{2} + 5x - a$
Тъй като уравненията ще имат общ корен, то графиките ще имат обща точка и $y_{1 } = y_{2 }$
$x^{2} - ax + 5 = x^{2} + 5x - a \Leftrightarrow x(5 + a) = a +5 $
Казахме,че $a\ne -5 \Rightarrow x = 1$ това е общият корен.Замествам:
$1^{2} -а.1 + 5 = 0 \Leftrightarrow 6 - а = 0 \Rightarrow а = 6$
Получаваме:
$x^{2} - 6x + 5 = 0 $ с корени $x_{1 } = 1 , x_{2 } = 5$
$x^{2} + 5x - 6 = 0 $ с корени $x_{1 } = 1 , x_{2 } = -6$
Отговор :
За $a = -5$ и двата корена са еднакви
За $a = 6$ имат общ корен $ x = 1$

А възможно ли е да се реши по този начин:
f(x)=$x^{2} - аx + 5=0 за да има решение трябва D≥0 <=> \displaystyle a\in (-\infty ,-2\sqrt{5}]\cup [2\sqrt{5},+\infty )
g(x)=$x^{2} + 5x - a=0 за да има решение трябва D≥0 <=> \displaystyle a\in [-\frac{25}{4} ,+\infty)
Засичаме 2та интервала и получаваме \displaystyle a\in [-\frac{25}{4},-2\sqrt{5}]\cup [2\sqrt{5},+\infty )
Решаваме f(x)=g(x) както е направено в цитата и намираме решението а=6, което е част от допустимите стойности, но за 5 как да го намерим?
Като цяло този тип задачи не мога да разбера по ккаъв алгоритъм се решават.

[S.B.]

но за 5 как да го намерим?
Като цяло този тип задачи не мога да разбера по ккаъв алгоритъм се решават.

Уравненията са:
[tex]а_{1 }x^{2} + b_{1 }x + c_{1 } = 0[/tex] и [tex]a_{2 }x^{2} + b_{2 }x + c_{2 } = 0[/tex]
Щом ще имат общ корен те са еквивалентни:
1) $a_{1 } = a_{2 } , b_{1 } = b_{2 } ,c_{1 } = c_{2 }$
От тук се получава $a = -5$
2)$a_{1 }x^{2} + b_{1 }x + c_{1 } = a_{2 }x^{2} + b_{2 }x + c_{2 }$
Намираш $x$ заместваш в някое от уравненията и получаваш $a$

Ако в задачата се питаше "Кога двете уравнения са еквивалентни" щях да проверя и следното условие:
$D_{1 } < 0 \cup D_{2 } < 0$ т.е. и двете уравнения нямат реални корени - намираш Д.М. за $a$ за което и двете уравнения нямат решение.
Но задачата е само да се намери кога двете уравнения имат общ корен.

[skadevil]

Благодаря