Задача с условие за корените и параметри

[skadevil]

Да се намери условието, при което разликата от квадратите на корените на уравнението аx^{2}+bx+c=0 е равна на [tex]\frac{c^2}{a^2}[/tex] (a,b,c са параметри, различни от 0).
x_{1 }^2 - x_{2 }^2 = [tex]\frac{c^2}{a^2}[/tex]
x_{1 }^2 - x_{2 }^2 това е формула и става (x_{1 }-x_{2 }) (x_{1 }+x_{2 }^2) = [tex]\frac{c^2}{a^2}[/tex]
(x_{1 }+x_{2 }^2) това можем да го заместим с формулите на Виет, но разликата как ще стане? И по прав път ли съм тръгнал ?

[S.B.]

Да се намери условието, при което разликата от квадратите на корените на уравнението аx^{2}+bx+c=0 е равна на [tex]\frac{c^2}{a^2}[/tex] (a,b,c са параметри, различни от 0).
x_{1 }^2 - x_{2 }^2 = [tex]\frac{c^2}{a^2}[/tex]
x_{1 }^2 - x_{2 }^2 това е формула и става (x_{1 }-x_{2 }) (x_{1 }+x_{2 }^2) = [tex]\frac{c^2}{a^2}[/tex]
(x_{1 }+x_{2 }^2) това можем да го заместим с формулите на Виет, но разликата как ще стане? И по прав път ли съм тръгнал ?

Аз мисля,че разликата [tex]x_{1 } - x_{2 }[/tex] е условието,което търсиш:
За да бъде $x_{1 }^{2} - x_{2 }^{2} = \frac{c^{2}}{a^{2}}$ изпълнено ще трябва:
$(x_{1 } + x_{2 })(x_{1 } - x_{2 }) = \frac{c^{2}}{a^{2}} \Leftrightarrow -\frac{b}{a}(x_{1 } - x_{2 }) = \frac{c^{2}}{a^{2}} \Rightarrow (x_{1 } - x_{2 } )= -\frac{c^{2}}{ab}$
Или за бъде изпълнено $x_{1 }^{2} - x_{2 }^{2} = \frac{c^{2}}{a^{2}}$ условието е $x_{1 } - x_{2 } = -\frac{c^{2}}{ab}$

[skadevil]

Благодаря за ясния отговор

[KOPMOPAH]

Аз предлагам един друг поглед към задачата:$$x_{1 }^{2} - x_{2 }^{2} = (x_1+x_2)(x_1-x_2)=-\frac ba.\underbrace{\sqrt {(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}}_{=x_1-x_2}=-\frac ba.\sqrt{\left(-\frac ba\right)^2-4\frac ca}=-\frac b{a^2}\sqrt{b^2-4ac}\Rightarrow \\ \Rightarrow -\frac b{a^2}\sqrt{b^2-4ac}=\frac{c^{2}}{a^{2}}$$
Като съкратим на ненулевото $a^2$ получаваме условието:$$-b\sqrt{b^2-4ac}=c^2$$

[S.B.]

Благодаря за ясния отговор

За да получиш отговора от учебника ще трябва да продължиш:
[tex]x_{1 } - x_{2 }= -\frac{c^{2}}{ab} \Leftrightarrow \frac{- b + \sqrt{D}}{2a} - \frac{- b -\sqrt{D}}{2a} = -\frac{c^{2}}{ab} \Leftrightarrow \sqrt{D} = - \frac{c^{2}}{b} \Leftrightarrow b^{2} - 4ac = \frac{c^{4}}{b^{2}} \Leftrightarrow b^{4} - c^{4} - 4ab^{2}c = 0[/tex]
Не се притеснявай!Този отговор е идентичен с отговора на колегата KOPMOPAH:
$-b\sqrt{b^{2} - 4ac} = c^{2} \Leftrightarrow b^{2}(b^{2} - 4ac) = c^{4} \Leftrightarrow b^{4} - c^{4} - 4ab^{2}c = 0$

Скрит текст: покажи

Не вярвам колегата KOPMOPAH да се разсърди,че показах,че двата отговора са единтични.Той просто е решил задачата по друг начин