Уравнение с разположение на корените

[skadevil]

Да се намерят стойностите на реалния параметър а, за които корените на уравнението:
[tex]x^{2}[/tex]-(2a+1)x+[tex]a^{2}[/tex]+a-2=0 са реални и единият е по-малък от 2, а другият е по-голям от 3;
Може ли някой да ми помогне с условията пък аз натам ще си я реша.

[peyo]

Да се намерят стойностите на реалния параметър а, за които корените на уравнението:
[tex]x^{2}[/tex]-(2a+1)x+[tex]a^{2}[/tex]+a-2=0 са реални и единият е по-малък от 2, а другият е по-голям от 3;
Може ли някой да ми помогне с условията пък аз натам ще си я реша.

Защо не решим задачата директно по формулата за корените?

$x_1 <2$
$x_2 > 3$

$x_1 = \frac{(2a+1)-\sqrt{(2a+1)^2-4a^{2}}}{2}<2$
$x_2 = \frac{(2a+1)+\sqrt{(2a+1)^2-4a^{2}}}{2}> 3$

Или

$\begin{array}{|l} (2a+1)-\sqrt{(2a+1)^2-4a^{2}}<4 \\ (2a+1)+\sqrt{(2a+1)^2-4a^{2}}> 6 \end{array}$

[S.B.]

Да се намерят стойностите на реалния параметър а, за които корените на уравнението:
[tex]x^{2}[/tex]-(2a+1)x+[tex]a^{2}[/tex]+a-2=0 са реални и единият е по-малък от 2, а другият е по-голям от 3;
Може ли някой да ми помогне с условията пък аз натам ще си я реша.

[tex]x^{2} - (2a + 1) x + a^{2} + a - 2 = 0[/tex]
Според условието наредбата на корените е следната :
$x_{1 } < 2 < 3 < x_{2 }$
Или простичко казано $2 \in (x_{1 },x_{2 }) $ и $ 3\in (x_{1 } , x_{2 })$
$D = (2a + 1)^{2} - 4(a^{2} + a - 2) =9>0 \Rightarrow $ за $\forall a\in R $ уравнението има 2 реални корена $x_{1 }\ne x_{2 }$
Коефициента пред втората степен на аргумента $x$ е равен на $1 >0$
И тогава:
От $2\in (x_{1 },x_{2 }) \rightarrow f(2) < 0 $
$\Rightarrow 2^{2} - (2a + 1)x -a^{2} + a -2 < 0 \Leftrightarrow a^{2} - 3a < 0 \Leftrightarrow a(a - 3) <o \Rightarrow a\in (0 , 3)$
От $3\in (x_{1 },x_{2 })\rightarrow f(3) < 0$
$ \Rightarrow 3^{2} - (2a + 1).3 - a^{2} + a - 2 < 0 \Leftrightarrow a^{2} - 5a + 4<0 \Leftrightarrow(a - 1)(a - 4) < 0 \Rightarrow a\in (1,4)$
От $\begin{cases} a\in (0 , 3)\\ a\in (1 , 4) \end{cases} \Rightarrow a\in (1 , 3)$

[skadevil]

Благодаря ви за двата начина на решение