Уравнение с х в степен

[Гост]

Здравейте, група. Тази задача как трябва да се реши?
[tex](\sqrt{2+\sqrt{3}})^{x}+(4-\sqrt{15})^{x}=4[/tex]
Просто ако може да дадете някакви насоки, за да мога да пробвам сам да я реша
Благодаря предварително

[Гост]

[tex](\sqrt{2+\sqrt{3}})^{x}+(\sqrt{2-\sqrt{3}})^{x}=4[/tex]

[skadevil]

[tex](\sqrt{2+\sqrt{3}})^{x}+(\sqrt{2-\sqrt{3}})^{x}=4[/tex]

Тук не се ли полага, като едното си е положонето, а другото е реципрочното.
Т.е например t+[tex]\frac{1}{t}[/tex]=4 ама не съм сигурен, да не те объркам нещо, защото съм ги забравил!

[Гост]

Това са две различни условия!

[S.B.]

Здравейте, група. Тази задача как трябва да се реши?
[tex](\sqrt{2+\sqrt{3}})^{x}+(4-\sqrt{15})^{x}=4[/tex]
Просто ако може да дадете някакви насоки, за да мога да пробвам сам да я реша
Благодаря предварително

Здравей,Гост!
Аз,числяща се към "групата" от която търсиш съдействие,понеже все пак не съм расла в саксия,погледнах тук - там и забелязах следното:

"Сборник задачи по алгебра 7 - 10 клас" изд.Народна просвета,авторски колектив под ръководството проф.д-р Спас Манолов,1985 год.
стр 198:
зад.168: [tex](\sqrt{2 + \sqrt{3}})^{x} + (\sqrt{2 - \sqrt{3}})^{x} = 4[/tex]
зад.169: [tex](4 + \sqrt{15})^{x} + (4 - \sqrt{15})^{x} = 62[/tex]

1)С просто око се забелязава,че задачата за която търсиш насоки, за да пробваш сам да я решиш е някакъв странен "микс" от условията на двете цитирани задачи от сборника.
2)Добре би било да знаеш,че "Уравнение с $x$ в степента" се нарича ПОКАЗАТЕЛНО уравнение

Ако все още се нуждаеш от помощ,ще трябва да определиш коя от двете задачи те интересува.

[skadevil]

Ако все още се нуждаеш от помощ,ще трябва да определиш коя от двете задачи те интересува.

Предполагам, че е имал/а впредвид втората, че първата ми изглежда няква нереална, ама не знам

[Гост]

няма нищо нереално в първата, решава се като втората, само че степента няма да е само [tex]x[/tex], а [tex]\frac{1}{2}x[/tex], т.е. изразът е [tex](2+\sqrt{3})^{\frac{1}{2}x}[/tex] и отново е същото полагане, написано по-горе

[skadevil]

отново е същото полагане, написано по-горе

Аха, значи правилно си спомням, че ставаше с полагане

[S.B.]

Аха, значи правилно си спомням, че ставаше с полагане

[tex](\sqrt{2 + \sqrt{3}})^{x} + (\sqrt{2 - \sqrt{3}})^{x} = 4 \Leftrightarrow (2 + \sqrt{3})^{\displaystyle\frac{x}{2}} + (2 - \sqrt{3})^{\displaystyle\frac{x}{2}} = 4[/tex]
Преработвам:
$2 - \sqrt{3} = \frac{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})} = \frac{4 - 3}{2 + \sqrt{3}} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \Rightarrow 2 - \sqrt{3} = (2 + \sqrt{3})^{- 1}$
И получавам:
$(2 + \sqrt{3})^{\displaystyle\frac{x}{2}} + \displaystyle\frac{1}{(2 + \sqrt{3})^{\displaystyle\frac{x}{2}}} = 4$

Нека $(2 + \sqrt{3})^{\displaystyle\frac{x}{2}} = t>0$
Уравнението придобива следния вид:
$t + \frac{1}{t} - 4 = 0 \Leftrightarrow t^{2} - 4t + 1 = 0 ,D = 12 , t_{1,2 } = 2 \pm \sqrt{3}$
Връщам субституцията:
$t_{1 } = 2 + \sqrt{3} = (2 + \sqrt{3})^{\displaystyle\frac{x}{2}} \Rightarrow 1 = \displaystyle\frac{x}{2} \Rightarrow x_{1 } = 2$
$t_{2 } = 2 - \sqrt{3} = (2 + \sqrt{3})^{- 1} = (2 + \sqrt{3})^{\displaystyle\frac{x}{2}} \Rightarrow -1 = \displaystyle\frac{x}{2} \Rightarrow x_{2 }= -2$

Скрит текст: покажи

Втората задача се решава на същия принцип,но "смесната' задача,която е поставил нашият Гост, не знам как се решава

[skadevil]

зад.169: [tex](4 + \sqrt{15})^{x} + (4 - \sqrt{15})^{x} = 62[/tex]

Стана ми интересно и реших да пробвам и тази задача, която S.B. даде
Както тя каза, решава се аналогично:
[tex](4 + \sqrt{15})^{x} + (4 - \sqrt{15})^{x} = 62[/tex]
[tex](4 - \sqrt{15})[/tex]=[tex]\frac{(4 - \sqrt{15})*(4 + \sqrt{15})}{(4 + \sqrt{15})}=(4 + \sqrt{15})^{-1}[/tex] - заместваш с това горе и полагаш [tex](4 + \sqrt{15})^{x}[/tex] да е = t
Оттук намираш D;[tex]t_{1 }[/tex] и [tex]t_{2 }[/tex] и се връщаш на полагането
За отговор аз получавам [tex]log_{4 + \sqrt{15} }31-8\sqrt{15}[/tex] и [tex]log_{4 + \sqrt{15} }31+8\sqrt{15}[/tex]
Просто разгледай нейното решение! Доста добре е написано

[S.B.]

зад.169: [tex](4 + \sqrt{15})^{x} + (4 - \sqrt{15})^{x} = 62[/tex]

Стана ми интересно и реших да пробвам и тази задача, която S.B. даде
Както тя каза, решава се аналогично:
[tex](4 + \sqrt{15})^{x} + (4 - \sqrt{15})^{x} = 62[/tex]
[tex](4 - \sqrt{15})[/tex]=[tex]\frac{(4 - \sqrt{15}ика)*(4 + \sqrt{15})}{(4 + \sqrt{15})}=(4 + \sqrt{15})^{-1}[/tex] - заместваш с това горе и полагаш [tex](4 + \sqrt{15})^{x}[/tex] да е = t
Оттук намираш D;[tex]t_{1 }[/tex] и [tex]t_{2 }[/tex] и се връщаш на полагането
За отговор аз получавам [tex]log_{4 + \sqrt{15} }31-8\sqrt{15}[/tex] и [tex]log_{4 + \sqrt{15} }31+8\sqrt{15}[/tex]
Просто разгледай нейното решение! Доста добре е написано

До някъде е така,но има една "малка подробност" в отговора:
Нямаш право да логаритмуваш сбор и разлика!Това което си написал:
[tex]log_{4 + \sqrt{15} }(31\pm 8\sqrt{15})[/tex] е груба грешка!!!

[tex]t^{2} - 62t + 1 = 0 , \sqrt{D} = 16\sqrt{15} \Rightarrow t_{1,2 } = 31\pm 8\sqrt{15}[/tex]
$t_{1 } = 31 + 8\sqrt{15} = 16 + 2.4.\sqrt{15} + 15 = (4 + \sqrt{15})^{2} = (4 + \sqrt{15})^{x} \Rightarrow x = 2$
$t_{2 } = 31 - 8\sqrt{15} = 16 - 2.4.\sqrt{15} + 15 = (4 - \sqrt{15})^{2} = (4 + \sqrt{15})^{-2} = (4 + \sqrt{15})^{x} \Rightarrow x = -2$
$x_{1,2 } = \pm 2$

[skadevil]

Опа