Показателно уравнение

[skadevil]

Зад.1 Дадено е уравнението:
[tex]3^{x}[/tex]*[tex]8^{\frac{x}{x+1}}[/tex]=36 [tex]\rightarrow[/tex] трябва да се намери х
И ето го моето решение:
[tex]3^{x}[/tex]*[tex]8^{\frac{x}{x+1}}[/tex]=36 /36
[tex]\frac{3^{x}*8^{\frac{x}{x+1}}}{6^{2}}[/tex] = 1
[tex]3^{x}[/tex]*[tex]3^{-2}[/tex]*[tex]2^{\frac{3x}{x+1}}[/tex]*[tex]2^{-2}[/tex]=1
[tex](3*2^{\frac{1}{x+1}})^{x-2}[/tex]=1
[tex]\Rightarrow[/tex] x-2=0 [tex]\Rightarrow[/tex] x=2 , но трябва да има още един отговор! Може ли малко помощ с него

Зад.2 Дадено е уравнението:
[tex]2\sqrt{16-4^{х+\frac{1}{2}}+16^{х-1}}[/tex]=17-8*[tex]4^{х-1}[/tex]+16[tex]^{х-1}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] тук пак се търси х и има два отговора, но аз получавам само един от двата
[tex]2\sqrt{16-4^{х+\frac{1}{2}}+16^{х-1}}[/tex] това под корена е формула и се получава [tex]\Rightarrow[/tex] 2*(4-[tex]4^{х-1})[/tex]=17-8*[tex]4^{х-1}[/tex]+16[tex]^{х-1}[/tex]
оттук разкривам скобите и правя сметките, като достигам до това уравнение:
[tex]-4^{2(х-1)}[/tex]+6*[tex]4^{х-1}[/tex]-9=0
Пол.: [tex]4^{х-1}[/tex]=t>0
-[tex]t^{2}[/tex]+6*t-9=0
D=0 [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]t_{1,2 }[/tex]=3>0
Връщам се на полагането [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]4^{х-1}[/tex]=3 [tex]\Rightarrow[/tex] x=log[tex]_{4 }[/tex]3+1

[S.B.]

Зад.1 Дадено е уравнението:
[tex]3^{x}[/tex]*[tex]8^{\frac{x}{x+1}}[/tex]=36 [tex]\rightarrow[/tex] трябва да се намери х

Аз разсъждавам така:
Д.М. $x \ne -1$
[tex]3^{x}8^{\frac{x}{x+1}} = 36 \Leftrightarrow 3^{x} .(2^{3})^{\frac{x}{x + 1}} = 3^{2}.2^{2} \Leftrightarrow[/tex]
$3^{x}2^{\frac{3x}{x + 1}} = 3^{2}.2^{2}$
Логаритмуваш двете страни на уравнението при основа $3$:
$log_{3 }(3^{x}.2^{\frac{3x}{x + 1}}) = log_{3 }(3^{2}.2^{2}) \Leftrightarrow log_{3 }3^{x} + log_{3 }2^{\frac{3x}{x + 1}} = log_{3 }3^{2} + log_{3 }2^{2} \Leftrightarrow$
$x.log_{3 }3 + \frac{3x}{x + 1}log_{3 }2 = 2log_{3 }3 + 2log_{3 } 2 \Leftrightarrow $
$x + \frac{3x}{x + 1}log_{3 }2 = 2 + 2log_{3 }2$
Тъй като $log_{3 }2$ е константа,за твое удобство нека $log_{3 }2 = a$ и тогава уравнението добива следния вид:
$x + a.\frac{3x}{x + 1} = 2 + 2a \Leftrightarrow$
$ x(x + 1) + 3ax - 2(x + 1) - 2a(x + 1) = 0 \Leftrightarrow $
$x^{2} - (1 - а)x -2(1 + a) = 0 , D = (a + 3)^{2} , x_{1.2 } = \frac{1 - a \pm(a + 3)}{2}$
$x_{1 } = \frac{1 - a + a + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 $
$x_{2 } = \frac{1 - a - a - 3}{2} = \frac{- 2(1 + a)}{2} = -(1 + a)$
Но $а = log_{3 }2 \Rightarrow x_{2 }= - (1 + log_{3 }2)$

Отговор: $x_{1 } = 2 , x_{2 } = -(1 + log_{3 }2)$

[skadevil]

[tex](3*2^{\frac{1}{x+1}})^{x-2}[/tex]=1
[tex]\Rightarrow[/tex] x-2=0 [tex]\Rightarrow[/tex] x=2

Да всъщност аз намирам х=2 по този начин, като нали:
[tex](3*2^{\frac{1}{x+1}})^{x-2}[/tex]=1
[tex](3*2^{\frac{1}{x+1}})^{x-2}[/tex]=[tex](3*2^{\frac{1}{x+1}})^{0}[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] х-2=0 [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x_{1 }=2[/tex]

и явно, ако го решавам за [tex]x_{1 }[/tex] по този мой начин, ще трябва да направя и този на S.B., за да намеря и [tex]x_{2 }[/tex], но то като цяло на S.B. начинът ни дава [tex]x_{1 }[/tex] и [tex]x_{2 }[/tex], което ме кара да се замисля дали може по моя да се намери направо и [tex]x_{2 }[/tex] не само [tex]x_{1 }[/tex], защото аз го решавам без логаритмуване

[S.B.]

Зад.2 Дадено е уравнението:
[tex]2\sqrt{16-4^{х+\frac{1}{2}}+16^{х-1}}[/tex]=17-8*[tex]4^{х-1}[/tex]+16[tex]^{х-1}[/tex]

[tex]2\sqrt{16 - 4^{x + \frac{1}{2}} + 16^{x - 1}} = 17 - 8.4^{x - 1} + 16^{x - 1}[/tex]
$2\sqrt{16 - 2.4^{x} + \frac{4^{2x}}{16}} = 17 - 2.4^{x} + \frac{4^{2x}}{16}$
Нека $4^{x} =t>0$
$2\sqrt{16 - 2t + \frac{t^{2}}{16}} = 17 - 2t + \frac{t^{2}}{16}$
Полагам $16 -2t +\frac{t^{2}}{16} = y$
$2\sqrt{ y} = 1 + y \Leftrightarrow 4y = 1 + 2y + y^{2} \Leftrightarrow 1 - 2y +y^{2} = 0 \Leftrightarrow (1 -y)^{2} = 0\Rightarrow y = 1$
Връщам втората субституция :
$16 - 2t + \frac{t^{2}}{16} = 1 \Leftrightarrow ....t^{2} - 32t + 240 = 0, D = 64 , t_{1,2 } = \frac{32\pm 8}{2}$
$t_{1 } = 20>0 , t_{2 } = 12>0$
Връщам първата субституция:
$t_{1 } = 4^{x} \Leftrightarrow 20 = 4^{x} \Leftrightarrow 4^{x - 1} = 5 \Rightarrow x -1 = log_{4 } 5 \Rightarrow x_{1 } = 1 + log_{4 }5$
$t_{2 } = 4^{x}\Leftrightarrow 12 = 4^{x} \Rightarrow 4^{x - 1} = 3 \Rightarrow x - 1 = log_{4 } 3\Rightarrow x_{2 } = 1 + log_{4 }3$

[S.B.]

.... дали може по моя да се намери направо и [tex]x_{2 }[/tex] не само [tex]x_{1 }[/tex]...

Когато попитали Иванчо дали може да свири на цигулка,той отвърнал : Може и да мога,не съм пробвал...
Та и ти сега , дали може ? Ами може и да може - пробвай!

[skadevil]

.... дали може по моя да се намери направо и [tex]x_{2 }[/tex] не само [tex]x_{1 }[/tex]...

Когато попитали Иванчо дали може да свири на цигулка,той отвърнал : Може и да мога,не съм пробвал...
Та и ти сега , дали може ? Ами може и да може - пробвай!

Не, аз пробвах, ама нищо не измислих. Аз затова питах за [tex]x_{2 }[/tex], защото първото го намерих, но не знам как да намеря за второто по моя начин . Иначе, благодаря много за твоите решения

[Евва]

Зад.1 Мисля,че вторият отговор идва от идеята [tex]1^{n}[/tex]=1 ;n[tex]\in[/tex]R

т.е. 3.[tex]2^{\frac{1}{х+1}}[/tex]=1

[Knowledge Greedy]

Тъкмо написах отговора и ... видях, че Евва ме е изпреварила.

Зад.1 Мисля,че вторият отговор идва от идеята [tex]1^n=1[/tex] ...

Все пак пускам и моя пост - малко по-подробно.

Помощ за skadevil 01 Ное 2020.png (12.82 KiB) Прегледано 710 пъти

Много ясно - втори отговор ще се получи и чрез [tex]3.2^{\frac{1}{x+1}}=1[/tex]
Чрез логаритмуване [tex]log_a \left ( 3.2^{\frac{1}{x+1}} \right )=log_a1[/tex] - при удобна основа. В случая удобната основа изглежда е [tex]a=2[/tex]
Удобството е дотолкова, доколкото премахва единия досаден логаритъм в една от двете основи.

[tex]log_2 3+log_22^{\frac{1}{x+1}} =0[/tex]

[tex]log_2 3+\frac{1}{x+1} =0[/tex]

[tex]x=-1-\frac{1}{log_23}[/tex]

[tex]x_2=-1-log_32[/tex]
________________________
Идеята, която предлага Евва, може да се развие и така [tex](-1)^{2m}=1[/tex]
Т.е. четна степен на [tex](-1)[/tex] също е [tex]1[/tex].
В тази ситуация обаче, тя няма да проработи т.к. основата няма как да стане отрицателното [tex](-1)[/tex] и едновременно степенният показател да е четно естествено.

[skadevil]

Благодаря ви много