Параметрични уравнения

[baroveca]

Дадени са функциите [tex]f(x)=x^2-2(k+2)x+1[/tex] и [tex]g(y)=y^2-2(k-1)y+1[/tex], където k е реален параметър.
Да се намерят стойностите на k, за които:
1. [tex]f(x)=0[/tex] и [tex]g(y)=0[/tex] имат реални корени.
Ето как постъпвам аз
За да са реални корените и на двете фонкции, достатъчно услови е [tex]D\ge 0[/tex]
[tex]x^2-2(k+2)x+1=0[/tex]
[tex]D=4(k+2)^2-4[/tex]
[tex]D=4(k^2+4x+4)-4[/tex]
[tex]D=4k^2+16k+16-4[/tex]
[tex]D=k^2+4k+3\ge 0[/tex]
[tex]k\in (-\infty ;-3]\cup [-1;+\infty )[/tex]

Сега второто:
[tex]y^2-2(k-1)y+1=0[/tex]
[tex]D=4(k^2+2k+1)-4\ge 0[/tex]
[tex]D=4k^2-8k+4-4\ge 0[/tex]
[tex]D=4k^2-8k[/tex]
[tex]k\in (-\infty ;0]\cup [2;+\infty)[/tex]
След засичане получавам [tex]k\in (-\infty ;-3]\cup [-1;0]\cup [2;+\infty )[/tex]
Вярно ли е?
2.Функцията [tex]\varphi (k)=x_1^2+x_2^2+y_1^2+y_2^2[/tex] Приема най-малката си стойност, където [tex]x_1[/tex] и [tex]x_2[/tex] и [tex]y_1[/tex] и [tex]y_2[/tex] са корените от 1
Значи ето как постъпвам аз [tex](x_1+x_2)^2-2.x_1.x_2+ (y_1+y_2)^2-2.y_1.y_2[/tex]След като реша това получавам, че при [tex]k=-\frac{1}{2 }[/tex] функцията [tex]\varphi (k)[/tex] достига най-малката си стойност.

3. [tex]x_1<y_1<y_2<x_2[/tex] където [tex]x_1[/tex] и [tex]x_2[/tex] и [tex]y_1[/tex] и [tex]y_2[/tex] са корените от 2
Ще ми дадете ли насоки към тази подточка ?

[allier]

[0,1] трябва да е [-1,0] май, според това, което си написал. Иначе другото изглежда вярно. За третата подточка може така да разсъждаваш (сигурно може и по-лесно, но не съм се замислил достатъчно ):

g(x1)+g(x2)>0
g(x1).g(x2)>0
f((y1+y2)/2)<0,

като разбира се засечеш с условието да имат и двете реални корени. Първите две неравенства са така написани, за да станат симетрични функциите и да използваш Виет директно.

[baroveca]

[0,1] трябва да е [-1,0] май, според това, което си написал. Иначе другото изглежда вярно. За третата подточка може така да разсъждаваш (сигурно може и по-лесно, но не съм се замислил достатъчно ):

g(x1)+g(x2)>0
g(x1).g(x2)>0
f((y1+y2)/2)<0,

като разбира се засечеш с условието да имат и двете реални корени. Първите две неравенства са така написани, за да станат симетрични функциите и да използваш Виет директно.

Грешката е моя. Техническа е.

[baroveca]

[0,1] трябва да е [-1,0] май, според това, което си написал. Иначе другото изглежда вярно. За третата подточка може така да разсъждаваш (сигурно може и по-лесно, но не съм се замислил достатъчно ):

g(x1)+g(x2)>0
g(x1).g(x2)>0
f((y1+y2)/2)<0,

като разбира се засечеш с условието да имат и двете реални корени. Първите две неравенства са така написани, за да станат симетрични функциите и да използваш Виет директно.

Може ли да пуснеш решение?

[allier]

g(x1)>0, g(x2)>0 гарантират, че корените на f са извън интервала [y1, y2]. Третото условие f((y1+y2)/2)<0 налага x1 и x2 да са от различни страни на средата на [y1, y2]. В крайна сметка двете условия (заедно с това да имат по 2 р.р.к уравненията) са еквивалентни на това, което се иска в условието. И сега, за да можем да сметнем g(x1), g(x2), правим системата симетрична и става g(x1)+g(x2)>0, g(x1).g(x2)>0.

Вече конкретните сметки мога да ги допиша, ако ти трябват.

[baroveca]

g(x1)>0, g(x2)>0 гарантират, че корените на f са извън интервала [y1, y2]. Третото условие f((y1+y2)/2)<0 налага x1 и x2 да са от различни страни на средата на [y1, y2]. В крайна сметка двете условия (заедно с това да имат по 2 р.р.к уравненията) са еквивалентни на това, което се иска в условието. И сега, за да можем да сметнем g(x1), g(x2), правим системата симетрична и става g(x1)+g(x2)>0, g(x1).g(x2)>0.

Вече конкретните сметки мога да ги допиша, ако ти трябват.

Я напиши цялото решение, плийис

[allier]

Ако Уругвай бият, ще го напиша веднага, иначе утре сутринта Не е трудно нататък, след като си напишеш системата.

[baroveca]

Ако Уругвай бият, ще го напиша веднага, иначе утре сутринта Не е трудно нататък, след като си напишеш системата.

Жалко.. загубиха

[allier]

Ето най-лесното решение - необходимо и достатъчно е f(y1)<0, f(y2)<0. Това го записваме като симетрична система така: f(y1)+f(y2)<0, f(y1).f(y2)>0.

Смятаме, смятаме, смятаме:
f(y1)+f(y2)= 11-12k
f(y1).f(y2)= 36

Излиза в крайна сметка, [tex]k>\frac{11}{12 }[/tex], което като се засече с интервалите от а), става [tex]k\in (2, \infty)[/tex]. Това, разбира се, ако не съм направил грешка в сметките.

[baroveca]

Или аз полудявам, или не виждам кои са корените у1 и у2. Може ли да ги напишеш?

[allier]

Не ти трябват конкретните стойности - затова направихме системата симетрична, за да може да заместиш y1+y2 и y1.y2 по Виет.

[baroveca]

Вече схванах... Благодаря ти!