Няколко уравнения

[tongois]

Ето няколко уравнения. който нещо не ми излезат! Всяка помощ ще е от полза благодаря много предварително!

1. Да се реши уравнението [tex]log_{2}(x+1) + log_{2}(3x -1) = 2[/tex]

2. Да се реши неравенството [tex]3.5^{2x - 1} - 2.5^{x-1} \ge 0,2[/tex]

3. Да се намерят корените на тригонометричното уравнение 5sinx + cos2x = 3 които принадлежат на затворения интервал [tex][ \frac{\pi }{2 } ; \pi ][/tex]

4. Корен на уравнението [tex]5^{x + 1} + 3.5^{x-1} - 6.5^{x} +10 = 0[/tex] е числото?

[WEBER]

Задача 1

[tex]log_{2}(x+1)+log_{2}(3x-1)=2[/tex]

[tex]DC_{x}: x>\frac{1}{3 }[/tex]

[tex]log_{2}(x+1)(3x-1)=2[/tex]

[tex](x+1)(3x-1)=4[/tex]

[tex]3x^2-x+3x-1=4[/tex]

[tex]3x^2+2x-5=0[/tex]

[tex]3x^2+5x-3x-5=0[/tex]

[tex]3x(x-1)+5(x-1)=0[/tex]

[tex](x-1)(3x+5)=0[/tex]

[tex]x_{1}=1, x_{2}=-\frac{5}{3 } \notin DC_{x}[/tex]

[WEBER]

Задача 2

[tex]3.5^{2x-1}-2.5^{x-1}\ge 0,2[/tex]

[tex]\frac{3.(5^x)^2}{5 } -\frac{2.5^x}{ 5} \ge \frac{1}{5 }[/tex]

полагам [tex]5^x=u>0[/tex] (може и без това полагане)

[tex]3u^2-2u-1\ge 0[/tex]

[tex]3u^2-3u+u-1\ge 0[/tex]

[tex]3u(u-1)+(u-1)\ge 0[/tex]

[tex](3.5^x+1)(5^x-1)\ge 0[/tex]

Първта скоба е положителна за всяко х, остава втората да е положителна, значи:

[tex]5^x-1\ge 0[/tex]

[tex]5^x\ge 5^0[/tex]

[tex]x\ge 0[/tex]

[Martin Nikovski]

4. [tex]5^{x+1}+3.5^{x-1}-6.5^x+10=0[/tex]
[tex]5.5^x+3.\frac{5^x}{5 } -6.5x+10=0[/tex]
Полагаме: [tex]5^x=y[/tex], [tex]y>0[/tex]
[tex]5y+3.\frac{y}{5 }-6y+10=0[/tex]
[tex]3.\frac{y}{5 }-y+10=0/.5[/tex]
[tex]3y-5y+50=0/.(-1)[/tex]
[tex]2y=50[/tex]
[tex]y=25[/tex], [tex]y>0[/tex] (решение)
[tex]5^x=25[/tex]
[tex]5^x=5^2[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x=2[/tex]

[WEBER]

Задача 3

[tex]5sinx+cos2x=3[/tex]
[tex]5sinx+1-2xin^2 x=3[/tex]
[tex]2sin^2 x - 5x+2=0[/tex]

полагам [tex]sinx=u[/tex]
[tex]DC_{u}: -1\le u\le 1[/tex]

[tex]2u^2-5u+2=0[/tex]
[tex]u_{1}=\frac{1}{2 }, u_{2}=2\notin DC_{u}[/tex]

[tex]sinx=\frac{1}{2 }[/tex]

[tex]x_{1}=30^\circ +360^\circ k[/tex] [tex]\notin [\frac{\pi }{2 };\pi ][/tex]

[tex]x_{2}=150^\circ +360^\circ k \in [\frac{\pi }{2 };\pi ][/tex] - окончателно е решение.