показателно уравнение

[AleksA]

2^{3x-1}/{2x+1} -1=2^{2-x}/{2x+1}

[seppen]

На пръв поглед лявото расте, дясното намалява.
x=2 - единствено решение.

[martosss]

[tex]2^{\frac{3x-1}{2x+1}} -1=2^{\frac{2-x}{2x+1}}[/tex]
Умножаваме по [tex]2^{\frac{x+3}{2x+1}}[/tex] и получаваме
[tex]2^{\frac{4x+2}{2x+1}}-\sqrt[2x+1]{2^{x+3}}=\sqrt[2x+1]{2^5}[/tex]
[tex]4=\sqrt 2\sqrt[2x+1]{2^{\frac{5}{2}}}+\sqrt[2x+1]{2^5}[/tex] сега прибавяме [tex]\frac{1}{2}[/tex] от двете страни и получаваме
[tex]\frac{9}{2}=\left(\frac{1}{\sqrt 2}+\sqrt[2x+1]{2^{\frac{5}{2}}}\right)^2[/tex]
Сега коренуваме, тъй като и двете страни са положителни и в скобите също имаме положителен израз и получаваме
[tex]\frac{3}{\sqrt 2}=\frac{1}{\sqrt 2}+\sqrt[2x+1]{2^{\frac{5}{2}}}\Right \sqrt[2x+1]{2^{\frac{5}{2}}}=\sqrt 2[/tex]
И сега
[tex]\frac{1}{2x+1}=\log_{2^{\frac{5}{2}}}\: 2^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{5}\Right 5=2x+1\Right x=2[/tex]

[AleksA]

благодаря за подробното решение само един въпрос от къде се сети да умножиш точно по [tex]2^{\frac{x+3}{2x+1}}[/tex]

[martosss]

ами като за начало ima6 [tex]2^{-x}[/tex] i [tex]2^{-1}[/tex], които ти стават в знаменател, а на мен знаменателите не ми харесват, затова умножавам по 2 на степен х+1, за да се освободя от знаменателя.
След това се получава [tex]2^{4x}[/tex], [tex]2^3[/tex] i [tex]2^{x+1}[/tex]. При положение, че са под корен, то особено първото много ми боде очите, защото ми трябват само още по 4 да го умножа, за да съкратя тия гадни хиксове. Другото, х+1, от него мога да отделя пък половинката на 2х+1, тоест х+ 1/2, и като умножа по още 4 махам и другите корени.
С това общо умножихме по х на степен х+3, с което махнахме всички корени, като освен това получаваме степени 5 и 5/2, които разбира се са нагласени от автора. Просто вариантите не са толкова много и това е, което може да се направи.

[mkmarinov]

Задачата е тривиална.
[tex]2^{\frac{3x-1}{2x+1}}=2^{\frac{2x+1+x-2}{2x+1}}=2.2^{\frac{x-2}{2x+1}}=2t[/tex]
Уравнението придобива вида
[tex]2t+1=\frac{1}{t}[/tex]