полагане - ирационално уравнени

[Гост]

[tex]x^{2} + x +[/tex] [tex]\sqrt{ x^{2} + x + 1} = 1[/tex]

[tex]\sqrt{x^{2} + x + 1} = t[/tex], [tex]t > 0[/tex]

Въпросът ми е защо t е само по-голямо от нула [tex]t > 0[/tex] , а не по-голямо или равно на нула [tex]t \ge 0[/tex] ?

[S.B.]

[tex]x^{2} + x +[/tex] [tex]\sqrt{ x^{2} + x + 1} = 1[/tex]

[tex]\sqrt{x^{2} + x + 1} = t[/tex], [tex]t > 0[/tex]

Въпросът ми е защо t е само по-голямо от нула [tex]t > 0[/tex] , а не по-голямо или равно на нула [tex]t \ge 0[/tex] ?

Не виждам особена полза от това полагане,което си направил.

[tex]x^{2} +x + \sqrt{ x^{2} + x + 1} = 1[/tex]
Полагам [tex]x^{2} + x = t[/tex]
(Виждаш,че това е израз , който фигурира на две места в уравнението и ако го замениш с една променлива,ще получиш много по - удобно уравнение)
Получаваш равносилно уравнение:
[tex]t + \sqrt{t + 1} = 1 \Leftrightarrow \sqrt{t + 1} = 1 - t[/tex]
Сега ще определя Д.М., като се водя от правилото,че подкоренната величина трябва да е неотрицателна,също и дясната страна на уравнението:
[tex]t + 1 \ge 0 \Rightarrow t \ge - 1[/tex]
[tex]1 - t \ge 0 \Rightarrow t \le 1[/tex]
Получавам Д.М. : [tex]t \in [-1 ; 1][/tex]
Сега повдигам двете страни на втора степен:
[tex]( \sqrt{t + 1} )^{2} = (1 - t)^{2} \Leftrightarrow t + 1 = 1 - 2t + t^{2} \Leftrightarrow t^{2} - 3t = 0 \Leftrightarrow t(t - 3) = 0[/tex]
За [tex]t(t - 3) = 0 \rightarrow t_{1 } = 0 , t_{1 } \in[/tex] Д.М. и [tex]t_{2 } = 3 \notin[/tex]Д.М.
Връщам полагането само за [tex]t_{1 }[/tex] тъй като само този корен принадлежи на Д.М.:
[tex]x^{2} + x = t \Leftrightarrow x^{2} + x = 0 \Leftrightarrow x(x + 1) = 0, x_{1 } = 0 , x_{2 } = -1[/tex]
Проверка:(заместват се [tex]x_{1,2 }[/tex] в условието)
За [tex]x = 0 \rightarrow 0 + 0 + \sqrt{0 + 0 + 1 } = 1 \Rightarrow x_{1 } = 0[/tex] е решение
За [tex]x = -1 \rightarrow 1 -1 + \sqrt{1 -1 + 1} = 1 \Rightarrow x_{2 } = -1[/tex] е решение

[Гост]

[tex]\sqrt{t + 1} = 1 - t[/tex]
Сега ще определя Д.М., като се водя от правилото,че подкоренната величина трябва да е неотрицателна,също и дясната страна на уравнението:
[tex]t + 1 \ge 0 \Rightarrow t \ge - 1[/tex]
[tex]1 - t \ge 0 \Rightarrow t \le 1[/tex]
Получавам Д.М. : [tex]t \in [-1 ; 1][/tex]

Много благодаря, за подробното решение.
Ако може да попитам, защо ви беше да намирате Д.М. за подкоренната велиичина? Не виждам полза в това, след вече сме намерили допустимите стойности за дясната страна.

[tex]\sqrt{ x^{2} + x + 1} = t[/tex]

Бих искал да задам също така и първоначалният си въпрос отново. Защо при определянето на Д.М. при моето полагане t е по-голямо от нула ([tex]t > 0[/tex])? Имам предвид, че според мен трябва да е [tex]t\ge 0[/tex], но според решението в учебника t е по-голямо от нула. Тоест нулата не е решение.

[S.B.]

1) Отговарям на въпроса ти защо ми е трябвало да търся Д.М. на подкоренната величина,след като съм намерила Д.М. на дясната страна:

Подкоренната величина ВИНАГИ трябва да бъде неотрицателна когато имаш четен коренен показател
[tex]\sqrt{t + 1} = 1 - t[/tex]
От дясната страна имаме [tex]1 -t \ge 0 \Rightarrow t \le 1[/tex]
Според теб това е напълно достатъчно.
Нека $t = -5$ , $ -5 < 1$ и според теб принадлежи на Д.М.
Тогава [tex]\sqrt{t + 1} = \sqrt{-5 + 1}= \sqrt{-4}[/tex] което е невъзможно в областта на реалните числа.
Д.М.: [tex]t \in [-1:1][/tex] след като се направи оценка и на подкоренната величина

2)На втория въпрос:
Защо [tex]\sqrt{ x^{2} + x + 1 } = t > 0[/tex]
Питаш защо [tex]t \ne 0[/tex]
[tex]\sqrt{ x^{2} + x + 1} = t[/tex]
Тричленът [tex]x^{2} + x + 1[/tex] има отрицателна дискриминанта и положителен коефициент пред втората степен.Това означава,че за [tex]\forall x[/tex] тричленът [tex]x^{2} +x + 1 > 0[/tex] т. е. никога не се анулира
[tex]\Rightarrow \sqrt{ x^{2} + x + 1} = t >0[/tex]