Уравнение от трета степен

[Гост]

Решете у-ето [tex]24x^{3}-14 x^{2}-63x+45=0[/tex], ако 2 от решенията се отнасят тъй както 1:2.

[KOPMOPAH]

Много ми хареса задачката за кубичното уравнение$$24x^{3}-14 x^{2}-63x+45=0$$
Започвам съвсем нормално с формулите на Виет$$x_1+x_2+x_3=-\frac ba$$Приемаме, че $$x_1=x, x_2=2x_1=2x, x_ 3=y$$След извършването на действията стигаме до $$3x+y=\frac{14}{24}~~~~~~~~~~ (1)$$
От следващата формула на Виет$$x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=\frac ca$$след преработка получаваме$$2x^2+3xy=\frac{-63}{24}~~~~~~(2)$$От $(1)$ и $(2)$ правим системата$$\begin{array}{|l}3x+y=\displaystyle{\frac{14}{24}}\\ 2x^2+3xy=\displaystyle{\frac{-63}{24}}\end{array}$$ $$y=\frac{14}{24}-3x\Rightarrow 2x^2+3x\left(\frac{14}{24}-3x\right)=-\frac{63}{24}$$ $$2x^2+\frac{42}{24}x-9x^2=-\frac{63}{24}$$Решавайки я, стигаме до квадратното уравнение $$24x^2-6x-9=0,$$чиито корени са $\frac 34$ и $-\frac 12$.

И тук се натъкваме на големия въпрос - защо $\frac 34$ е корен на кубичното уравнение, а $-\frac 12$ - не?

Според третата формула на Виет $$x_1x_2x_3=-\frac da=-\frac{45}{24}<0~~~~~~~(3)$$Последното неравенство ни дава основание да твърдим, че уравнението има нечетен брой отрицателни корени.
Разглеждаме знаците на корените - при $x_1=x=\frac 34$, $x_2=2x=\frac 32$ и замествайки в $(1)$ получаваме $x_3=y=-\frac 53$.
Ако $x_1=x=-\frac 12$, то $x_2=2x=-1$ и трябва и третият корен да е отрицателен, според $(3)$. За съжаление не може сумата на три отрицателни числа да е равна на положителното число $\frac{14}{24}$ и равенство $(1)$ е невъзможно.

В крайна сметка решенията са $$x_1=\frac 34, x_2=\frac 32, x_3=-\frac 53$$

Скрит текст: покажи

...колкото е и според WolframAlpha

[S.B.]

Поздравление!

[S.B.]

Решете у-ето [tex]24x^{3}-14 x^{2}-63x+45=0[/tex], ако 2 от решенията се отнасят тъй както 1:2.

Още един поглед върху задачата

[tex]24 x^{3} - 14 x^{2} - 63 + 45 = 0[/tex]
[tex]x_{1 } = x , x_{2 } = 2x , x_{3 } = y[/tex]
Според формулите на Виет образувам следната система :
[tex]\begin{array}{|l} x_{1 } + x_{2 } + x_{3 } = \displaystyle\frac{14}{24} \\ x_{1 } x_{2 }+ x_{1 } x_{3 }+ x_{2 } x_{3 } =- \displaystyle\frac{63}{24} \\ x_{1 } x_{2 } x_{3 }= -\displaystyle\frac{45}{24} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 3x + y = \displaystyle\frac{7}{12} \\ 2 x^{2} +3xy =-\displaystyle \frac{21}{8}\\2 x^{2}y = -\displaystyle\frac{15}{8} \end{array}[/tex]
[tex]x_{1 } + x_{2 } = x + 2x = 3x = t \Rightarrow x = \frac{t}{3} \Rightarrow x^{2} = \frac{ t^{2} }{9}[/tex]
Тогава:
[tex]\begin{array}{|l} t + y =\displaystyle \frac{7}{12} \\2 \displaystyle\frac{ t^{2} }{9} + ty = -\displaystyle \frac{21}{8}\\2 \displaystyle\frac{ t^{2} }{9}y = -\displaystyle \frac{15}{8} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} y = \displaystyle \frac{7}{12} - t \\ 2\displaystyle \frac{ t^{2} }{9} + t(\displaystyle \frac{7}{12} - t) + \displaystyle \frac{21}{8} = 0\\2\displaystyle \frac{ t^{2} }{9}y = -\displaystyle \frac{15}{8} \end{array}[/tex]

От [tex]2 \frac{ t^{2} }{9}y = - \frac{15}{8} \rightarrow y < 0[/tex]
Тогава [tex]y = \frac{7}{12} - t < 0[/tex]$$\Rightarrow t > \frac{7}{12}$$
След преработка на второто уравнение получавам:
[tex]8 t^{2} - 6t -27 = 0 , D = 30^{2}, t_{1 } = \frac{9}{4}> \frac{7}{12} , t_{2 } = - \frac{13}{8}< \frac{7}{12}[/tex]
[tex]3x = t \Leftrightarrow 3x = \frac{9}{4} \Rightarrow x = \frac{3}{4} \Rightarrow x_{1 } = \frac{3}{4} ,2x = \frac{3}{2} \Rightarrow x_{2 } = \frac{3}{2}[/tex]
[tex]x_{1 }. x_{2 } . x_{3 } = - \frac{15}{8} \Leftrightarrow \frac{3}{4}. \frac{3}{2} .y = - \frac{15}{8} \Rightarrow y = - \frac{5}{3}[/tex]
$$x_{1 } = \frac{3}{4} , x_{2 } = \frac{3}{2} , x_{3 } = - \frac{5}{3} $$