Разположение корените на квадратен тричлен

[baroveca]

Реших да направя тази тема с теория, която да помага на учениците,които срещат затруднения с този вид задачи. Жалко,че нямам програма за чертане на графика,защото така щеше да стане по-красиво. И така нека да започнем:

Разположение корените [tex]x_1,x_2[/tex] на квадратния тричлен [tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex]


1.[tex]x_1<\alpha <x_2[/tex]- Числото [tex]\alpha[/tex] се намира между корените на уравнението [tex]<=>\alpha \in (x_1;x_2)[/tex]
Условието числото [tex]\alpha[/tex] да е между корените е [tex]\fbox{a.f(\alpha)<0 }[/tex]
[tex]a[/tex]-Коефициентът пред [tex]x^2[/tex]

2.[tex]x_1\le x_2<\alpha[/tex]- Числото [tex]\alpha[/tex] е по-голям от корените на уравнението т.е корените са по-малки от числото [tex]\alpha[/tex]
Условията числото [tex]\alpha[/tex] да е по-голям от корените на уравнението са решенията на системата [tex]\fbox{\begin{tabular}{|l}a.f(\alpha )>0\\D\ge 0\\-\frac{b}{ 2a}<\alpha \end{tabular}}[/tex]

3.[tex]\alpha <x_1\le x_2[/tex]-Числото [tex]\alpha[/tex] е по-малък от корените на уравнението т.е корените са по-големи от числото [tex]\alpha[/tex]
За да е изпълнено това изискване, са нужни следните условия - решението на системата [tex]\fbox{\begin{tabular}{|l}a.f(\alpha )>0\\D\ge 0\\-\frac{b}{ 2a}>\alpha \end{tabular}}[/tex]

4. [tex]\alpha <x_1\le x_2<\beta <=>x_1;x_2\in (\alpha ;\beta )[/tex]- Корените на уравнението принадлежат в даден интервал.
За да е изпълнено това, условията са решаването на системата от неравенства:[tex]\fbox{\begin{tabular}{|l}D\ge0\\f(\alpha).f(\beta)>0\\\alpha<-\frac{b}{2a }<\beta \end{tabular}
}[/tex]


5.[tex]\alpha <x_1<\beta <x_2[/tex]- Единият от корените е в интервала [tex](\alpha ;\beta )[/tex], а другият е по-голям от числото [tex]\beta[/tex]. За да рашем такава задача, решаваме сестемата [tex]\fbox{\begin{tabular}{|l}a.f(\alpha )>0\\a.f(\beta)<0\\-\frac{b}{2a }>\alpha \end{tabular} }[/tex]


6.[tex]x_1<\alpha <x_2<\beta[/tex] Единият от корените е в интервала [tex](\alpha ;\beta )[/tex], а другият е по-малък от числото [tex]\alpha[/tex] .За този вид задачи решаваме системата:[tex]\fbox{\begin{tabular}{|l}a.f(\alpha )<0\\a.f(\beta)>0\\-\frac{b}{2a }<\alpha \end{tabular} }[/tex]

7.Функция [tex]f(x)[/tex](произволна) има корен [tex]x_0[/tex] в интервала [tex](\alpha ;\beta )[/tex],ако [tex]\fbox{f(\alpha).f(\beta)<0 }[/tex]

Ето и задачи за упражнение:
1.За кои стойности на параметъра k числото 2 се намира между корените на уравнението [tex](k+2)x^2+(3k+7)x+3k+5[/tex]?

2.За кои стойности на параметъра k числото -1 е по-малко от карените на уравнението [tex]x^2-6kx+9k^2-3k-1=0[/tex]

3.За кои стойности на параметъра k корените на уравнението [tex]kx^2-2(k-1)x+7k-3=0[/tex] са по-малки от числото 2

4.За кои стойности на параметъра k точно един от корените на уравнението [tex](2-k)x^2-(3k-2)x-2k+1=0[/tex] принадлежи в интервала [tex](-2;-3)[/tex]

5.За кои стойности на параметъра k корените на уравнението [tex]kx^2-2(k-6)x+15-k=0[/tex] принадлежат в интервала [tex](-1;3)[/tex]

6.За кои стойности на параметъра k единият корен на уравнението [tex](k-1)x^2-2(3k-4)x+5(k-3)=0[/tex] принадлежи в интервала [tex](6;8)[/tex], а другият е по-малък от 6?

7.За кои стойности на параметъра k единият корен на уравнението [tex]kx^2-2(k+4)-k+16=0[/tex] е между -3 и -1, а другият е по-голям от -1?

Дано да съм бил полезен!

[mkmarinov]

На 4. имаш грешка. Изисква се [tex]a.f(\alpha) > 0[/tex] и [tex]a.f(\beta)>0[/tex]

[baroveca]

На 4. имаш грешка. Изисква се [tex]a.f(\alpha) > 0[/tex] и [tex]a.f(\beta)>0[/tex]

Няма грешка. Все същото е

[mkmarinov]

Глупости. Когато [tex]a.f(\alpha)<0[/tex] и [tex]a.f(\beta)<0[/tex], твоята "хитрина" е пак налице.

[baroveca]

Глупости. Когато [tex]a.f(\alpha)<0[/tex] и [tex]a.f(\beta)<0[/tex], твоята "хитрина" е пак налице.

Така са ми казали да го уча,така го написах и аз,но щом казваш- ще го променя.
ПП- Видях,че не мога да го променя.