Логаритъм и тригонометрични функции

[nikola.topalov]

Да се реши уравнението [tex]\log_2(3+2x-x^2)=\tg^2 \left(\dfrac{\pi x}{4}\right)+\cotg^2 \left(\dfrac{\pi x}{4}\right)[/tex].

[Гост]

x=1, освен това x[tex]\ne[/tex]0, x[tex]\in (-1,3)[/tex]

[Гост]

и x[tex]\ne[/tex]2

[Гост]

logtancot.PNG (80.5 KiB) Прегледано 621 пъти

[S.B.]

Да се реши уравнението [tex]\log_2(3+2x-x^2)=\tg^2 \left(\dfrac{\pi x}{4}\right)+\cotg^2 \left(\dfrac{\pi x}{4}\right)[/tex].

[tex]\log_{2 }(3 + 2x - x^{2 } ) = \tg^{2 }( \displaystyle\frac{ \pi x}{4}) + \cotg^{2 }( \displaystyle\frac{ \pi x}{4}) \Leftrightarrow 3 + 2x - x^{2 } = 2^{ \displaystyle\tg^{2 } ( \displaystyle\frac{ \pi x}{4}) + \cotg^{2 }( \displaystyle\frac{ \pi x }{4}) }[/tex]

Нека :
[tex]f(x) = 3 + 2x - x^{2 }[/tex] ,
[tex]\varphi(x) = 2^{\displaystyle \tg^{2 }(\displaystyle \frac{ \pi x}{4}) + \cotg^{2 }(\displaystyle \frac{ \pi x}{4}) }[/tex]

И уравнението добива вида:
$$f(x) = \varphi(x)$$
Да определим Д.М. на уравнението:

[tex]\varphi(x) = 2^{\displaystyle \tg^{2 }\displaystyle \frac{ \pi x}{4} + \cotg^{2 }\displaystyle \frac{ \pi x}{4} } > 0[/tex]
[tex]\varphi(x)[/tex] е дефинирана за [tex]\forall x \ne 0 ,x \ne \pm 2, \pm 4, \pm ...2n[/tex],където $n$ е цяло число.
От [tex]\begin{cases} \varphi(x) > 0 \\ f(x) = \varphi (x)\end{cases} \rightarrow f(x) >0[/tex]
[tex]f(x) = 0 \Leftrightarrow 3 + 2x - x^{2 } = 0 , x_{1 } = -1, x_{2 } = 3[/tex]
Коефициента пред аргумента от втора степен е отрицателен,$D > 0$ [tex]\Rightarrow[/tex] положителната част от графиката на $f(x)$ се намира между $- 1$ и $3$

Получихме за Д.М. : [tex]x \in (-1 , 3) , x \ne0,x \ne 2[/tex]

Ще разгледам $f(x)$:
[tex]f'(x) = 2 - 2x \ge 0 \Rightarrow 1 - x \ge 0[/tex]
За [tex]x \in (-1,1)[/tex] функцията расте , за [tex]x \in (1 , 3)[/tex] , намалява, а за $x = 1$ притежава максимум,[tex]f_{max } = 4[/tex]

Ще разгледам [tex]\varphi (x) :[/tex]

[tex]\varphi '(x) = [ \tg^{2 }( \displaystyle\frac{ \pi x }{4}) + \cotg^{2 }( \displaystyle\frac{ \pi x}{4})]. 2^{\displaystyle \tg^{2 }(\displaystyle \frac{ \pi x}{4}) + \cotg^{2 }(\displaystyle \frac{ \pi x}{4}) - 1}.[\displaystyle \tg^{2 }(\displaystyle \frac{ \pi x }{4}) + \displaystyle \cotg^{2 }(\displaystyle \frac{ \pi x}{4})]' = 0 \Leftrightarrow[/tex]
[tex][\displaystyle \tg^{2 }\displaystyle( \frac{ \pi x }{4} ) + \displaystyle \cotg^{2 }(\displaystyle \frac{ \pi x}{4}) ]' = 0 \Leftrightarrow..............[/tex] след образуване на производната и преработката ѝ
[tex]\cos \frac{ \pi x }{2} = 0[/tex]
От Д.М.:[tex]x \in ( - 1,3),x \ne 0,x \ne 2 \Rightarrow x = 1[/tex]
[tex]\varphi (x)[/tex] е строго растяща,за $x = 1$ притежава минимум [tex]\varphi _{min } = 2^{1 + 1 } = 2^{2 } = 4[/tex]
Получихме [tex]f_{max } = \varphi _{min } \Rightarrow x = 1[/tex] е решение на уравнението.