Кубично уравнение - x^3-5x^2+10x-12 = 0

[Гост]

Уравнението е следното [tex]x^3-5x^2+10x-12 = 0[/tex]
Не ми се получават цели числа , а би трябвало

[KOPMOPAH]

Уравнението е следното x^3-5x^2+10x-12 = 0
Не ми се получават цели числа , а би трябвало

Има един реален корен $x=3$, който ми прилича на цяло число...

Скрит текст: покажи

$x^3-5x^2+10x-12=x^3-3x^2-2x^2+6x+4x-12=x^2(x-3)-2x(x-3)+4(x-3)=... $

[nikola.topalov]

Теорема:
Ако [tex]\frac{p}{q}[/tex] ([tex]p,q\in\mathbb{Z}[/tex] са взаимно прости) е корен на уравнението
[tex]\sum_{i=0}^{n}a_i x^i=0[/tex]
където [tex]\{a_i\}\in\mathbb{Z}[/tex], то [tex]p|a_0[/tex] и [tex]q|a_n[/tex].

Нека допуснем, че уравнението [tex]f(x)=x^3-5x^2+10x-12=0[/tex] има рационален корен. Определяме [tex]a_0=-12[/tex] и [tex]a_n=1[/tex]. Тогава [tex]q\in\{\pm 1\}[/tex] и [tex]p\in\{\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12\}[/tex]. Сега пробваме възможни стойности за [tex]\dfrac{p}{q}[/tex] (с първите най-често става). Очевидно [tex]\pm 1[/tex] не са корени на уравнението. Пробваме с [tex]2[/tex]. Имаме [tex]f(2)=-4\ne 0[/tex], значи [tex]2[/tex] не е решение. За [tex]f(-2)[/tex] получаваме [tex]-60[/tex], тоест [tex]-2[/tex] не е решение. За [tex]x=3[/tex] обаче получаваме [tex]f(3)=0[/tex] и значи [tex]3[/tex] е корен на уравнението. С помощта на схемата на Хорнер разделяме полинома [tex]f(x)[/tex] на [tex]x-3[/tex], откъдето разбираме, че [tex]f(x)=(x-3)(x^2-2x+4)[/tex]. Но [tex]x^2-2x+4>0:\forall x\in\mathbb{R}[/tex], значи [tex]x=3[/tex] е единствения реален корен на уравнението.

Скрит текст: покажи

Ако пък се беше оказало, че дадения полином няма рационални корени, можеше да опитаме да го изравним на [tex](x^2+ax+b)(x^2+mx+n)[/tex] за [tex]a,b,m,n\in\mathbb{Z}[/tex], да разкрием скобите и да приложим метода на неопренелените коефициенти, откъдето става система, която може да се реши, имайки предвид че говорим за цели числа.

[KOPMOPAH]

Поздравления за решението!

Но защо

...Ако пък се беше оказало, че дадения полином няма рационални корени, можеше да опитаме да го изравним на [tex](x^2+ax+b)(x^2+mx+n)[/tex] за [tex]a,b,m,n\in\mathbb{Z}[/tex], да разкрием скобите и да приложим метода на неопренелените коефициенти, откъдето става система, която може да се реши, имайки предвид че говорим за цели числа.

Как се отърваваме от члена $x^4$, който в кубичното уравнение не съществува?

[nikola.topalov]

Поздравления за решението!

Но защо

...Ако пък се беше оказало, че дадения полином няма рационални корени, можеше да опитаме да го изравним на [tex](x^2+ax+b)(x^2+mx+n)[/tex] за [tex]a,b,m,n\in\mathbb{Z}[/tex], да разкрием скобите и да приложим метода на неопренелените коефициенти, откъдето става система, която може да се реши, имайки предвид че говорим за цели числа.

Как се отърваваме от члена $x^4$, който в кубичното уравнение не съществува?

Сгрешил съм от невнимание. Имах предвид [tex](x^2+ax+b)(x+m)[/tex]

[Гост]

Решаването с метода на неопределените коефициенти ще доведе пак до същото уравнение от 3-та степен, няма смисъл.

[nikola.topalov]

Решаването с метода на неопределените коефициенти ще доведе пак до същото уравнение от 3-та степен, няма смисъл.

Напротив. Нека го направим така. Изравняваме
[tex]x^3-5x^2+10x-12=(x^2+ax+b)(x+m)[/tex]
След разкриване на скобите имаме
[tex]x^3+x^2(m+a)+x(ma+b)+bm[/tex]
откъдето по метода на неопренелените коефициенти получаваме системата
[tex]\begin{array}{|l} m+a = -5 \\ ma+b= 10 \\ bm=-12 \end{array}[/tex]
Взимайки под внимание това, че [tex]b,m\in\mathbb{Z}[/tex], за [tex]b[/tex] и [tex]m[/tex] получаваме няколко опции (от 3тото уравнение в системата), но само една от тях удовлетворява искането решенията на системата да са цели числа, а именно [tex](b,m)=(4,-3)[/tex], откъдето и [tex](a,b,m)=(-2,4,-3)[/tex]. След заместване получаваме
[tex]x^3-5x^2+10x-12=(x^2-2x+4)(x-3)[/tex]