Скромничко ирационално уравнение

[KOPMOPAH]

$$\sqrt[4]{1-x}+\sqrt[4]{15+x}=2$$

[nikola.topalov]

Полагаме [tex]a=\sqrt[4]{1-x}[/tex] и [tex]b=\sqrt[4]{15+x}[/tex]. Така получаваме системата
[tex]\begin{array}{|l} a+b=2 \\ a^4+b^4= 16\end{array}[/tex]
Тъй като
[tex]a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2=[(a+b)^2-2ab]^2-2a^2b^2=(4-2ab)^2-2a^2b^2[/tex]
то след полагане на [tex]u=ab[/tex] получаваме уравнението [tex](4-2u)^2-2u^2=16[/tex], чиито корени са [tex]u_1=0[/tex] и [tex]u_2=8[/tex]. В първия случай имаме
[tex]\begin{array}{|l} a+b=2 \\ ab=0\end{array}[/tex]
Решения на горната система са [tex](a,b)=(0,2)[/tex] и [tex](a,b)=(2,0)[/tex], а оттук получаваме [tex]x_1=1[/tex] и [tex]x_2=-15[/tex] след връщане в полагането. Остана да разгледаме случая, когато [tex]ab=8[/tex]. Тъй като [tex]a=2-b[/tex], то може да запишем уравнението [tex]b^2-2b+8=0[/tex], което обаче няма реални корени, т.е. [tex](a,b) \notin \mathbb{R}^2[/tex]. Окончателно [tex]x\in\{-15,1\}[/tex].

[KOPMOPAH]

Браво, nikola.topalov!