цели корени

[naitsirk]

Да се определят целите стойности на параметъра [tex]a[/tex] за които уравнението
[tex]x^2+(a+1)x+2a-3=0[/tex] има цели корени.

Have fun

[dim]

[tex]\pm 3[/tex] ?

[martin123456]

[tex]D=(a+1)^2-4(2a-3)=a^2+2a+1-8a+12=a^2-6a+13[/tex], което винаги е положително.
корените са [tex]x_{1,2}=\frac{-a-1 \pm \sqrt{D}}{2}[/tex]. ако D не e квадрат на рационално число, значи не са рационални корените. D трябва да е квадрат на рационално число. а е цяло, значи D е цяло => D трябва да е квадрат на цяло число. нека [tex]D=u^2[/tex]. корените са [tex]x_{1,2}=\frac{-a-1 \pm u}{2}[/tex]. а и u имат различна четност от [tex]a^2-6a+13=u^2[/tex]. значи корените са цели. остава да решим
[tex]a^2-6a+13=u^2[/tex]<=>[tex](a-3)^2+4=u^2[/tex]<=>[tex](u-a+3)(u+a-3)=4[/tex]
тъй като u и a имат различна четност, множителите са четни =>
[tex]u-a+3=2 \cap u+a-3=2[/tex]=>[tex]u=2[/tex], [tex]a=3[/tex]

[dim]

[tex]D=(a+1)^2-4(2a-3)=4a^2+13[/tex], сега имаме да решима [tex]4a^2+13=b^2[/tex] <=> [tex](2a+b)(2a-b)=13[/tex], откъдето [tex]a=\pm 3[/tex]. Сега полу4аваме само [tex]a=3[/tex] всъщност, защото при [tex]a=-3[/tex] нямаме цял корен.

[estoyanovvd]

[tex]u-a+3=2 \cap u+a-3=2[/tex]

Или и двете са равни на -2! Но тогава пак се получава същата стойнст за а, което не означава, че не трябва да се разгледа и този случай.