Уравнение

[Гост]

Здравейте, имам молба за помощ с това уравнение: [tex](6x + 2) (x + 5) (x + 15) (x + 18) + 360 = 0[/tex]. Реших, че ще разкрия скобите и получих уравнение от 4та степен с твърде големи коефициенти обаче и си мисля, че нататък решението ще е твърде мъчително (схемата на Хорнер ще я правя до утре).

[Davids]

Не ми изглеждат като "хубави" числа решенията на това уравнение, с учебни цели ли е дадено или произлиза от реални практически изчисления? Единственото потенциално удобно, което се сещам, е метода на неопределените коефициенти, който работи в частност за полиноми от 4-та степен (представяме го като произведение на два квадратни тричлена с неопределени коефициенти и решаваме система за коефициентите).

[KOPMOPAH]

Малък "лайфхак" - като имаш такова уравнение, пробвай ТУК да му намериш корените, а после се чуди как да ги докараш

Според мен има грешка в някое от числата. Вероятно трябва по някакъв изразите в скобите да са делители на числото $360$

[KOPMOPAH]

Ако много старателно решаваш, при тези данни трябва да получиш нещо като$$x_{1} = - \frac{115}{12} - \frac{\sqrt{\frac{827}{12} + \frac{155702}{81 \sqrt[3]{\frac{85563031}{2916} + \frac{\sqrt{313264781495} i}{108}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{85563031}{2916} + \frac{\sqrt{313264781495} i}{108}}}}{2} - \frac{\sqrt{\frac{827}{6} - 2 \sqrt[3]{\frac{85563031}{2916} + \frac{\sqrt{313264781495} i}{108}} - \frac{9545}{108 \sqrt{\frac{827}{12} + \frac{155702}{81 \sqrt[3]{\frac{85563031}{2916} + \frac{\sqrt{313264781495} i}{108}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{85563031}{2916} + \frac{\sqrt{313264781495} i}{108}}}} - \frac{155702}{81 \sqrt[3]{\frac{85563031}{2916} + \frac{\sqrt{313264781495} i}{108}}}}}{2}$$ $$x_{2} = - \frac{115}{12} + \frac{\sqrt{\frac{827}{12} + \frac{155702}{81 \sqrt[3]{\frac{85563031}{2916} + \frac{\sqrt{313264781495} i}{108}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{85563031}{2916} + \frac{\sqrt{313264781495} i}{108}}}}{2} - \frac{\sqrt{\frac{827}{6} - 2 \sqrt[3]{\frac{85563031}{2916} + \frac{\sqrt{313264781495} i}{108}} + \frac{9545}{108 \sqrt{\frac{827}{12} + \frac{155702}{81 \sqrt[3]{\frac{85563031}{2916} + \frac{\sqrt{313264781495} i}{108}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{85563031}{2916} + \frac{\sqrt{313264781495} i}{108}}}} - \frac{155702}{81 \sqrt[3]{\frac{85563031}{2916} + \frac{\sqrt{313264781495} i}{108}}}}}{2}$$ $$x_{3} = - \frac{115}{12} + \frac{\sqrt{\frac{827}{6} - 2 \sqrt[3]{\frac{85563031}{2916} + \frac{\sqrt{313264781495} i}{108}} - \frac{9545}{108 \sqrt{\frac{827}{12} + \frac{155702}{81 \sqrt[3]{\frac{85563031}{2916} + \frac{\sqrt{313264781495} i}{108}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{85563031}{2916} + \frac{\sqrt{313264781495} i}{108}}}} - \frac{155702}{81 \sqrt[3]{\frac{85563031}{2916} + \frac{\sqrt{313264781495} i}{108}}}}}{2} - \frac{\sqrt{\frac{827}{12} + \frac{155702}{81 \sqrt[3]{\frac{85563031}{2916} + \frac{\sqrt{313264781495} i}{108}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{85563031}{2916} + \frac{\sqrt{313264781495} i}{108}}}}{2}$$ $$x_{4} = - \frac{115}{12} + \frac{\sqrt{\frac{827}{6} - 2 \sqrt[3]{\frac{85563031}{2916} + \frac{\sqrt{313264781495} i}{108}} + \frac{9545}{108 \sqrt{\frac{827}{12} + \frac{155702}{81 \sqrt[3]{\frac{85563031}{2916} + \frac{\sqrt{313264781495} i}{108}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{85563031}{2916} + \frac{\sqrt{313264781495} i}{108}}}} - \frac{155702}{81 \sqrt[3]{\frac{85563031}{2916} + \frac{\sqrt{313264781495} i}{108}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{827}{12} + \frac{155702}{81 \sqrt[3]{\frac{85563031}{2916} + \frac{\sqrt{313264781495} i}{108}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{85563031}{2916} + \frac{\sqrt{313264781495} i}{108}}}}{2}$$

[S.B.]

Колега KOPMOPAH , поздравлявам Ви за героизма и търпението! Заслужавате медал за храброст!

[Sup3rlum]

..

Добре може и да съм само аз, ама тази лудория изглежда мега satisfying за някакъв абстрактен дизайн

[KOPMOPAH]

Колега KOPMOPAH , поздравлявам Ви за героизма и търпението! Заслужавате медал за храброст!

Де да бях способен на такъв мазохизъм! Използвах услугите на Интернет.

[Гост]

Задачата е взета от утвърдения учебник за 11 клас по профил Елементи на Математическия анализ на издателство Регалия, вероятно наистина има грешка в условието, защото в този модул не е ставало въпрос за комплексни числа, каквито са и отговорите ви, благодаря все пак за положените старания и усилия!

[KOPMOPAH]

Всъщност така зададеното уравнение има четири реални корена. Те могат да бъдат намерени приблизително с разни средства, едно от които е и на сайта, както вече посочих ТУК

Комплексните числа, които присъстват в отговорите, изчезват при опростяване на изразите и са сложени само за илюстрация докъде може да се стигне, когато съставителите на утвърдения учебник за 11 клас по профил "Елементи на Математическия анализ" на издателство "Регалия" не си свършат работата.

Вероятно условието е така:$$(x+2)(x+5)(x+15)(x+18)+360=0$$Като аргумент за това мога да посоча, че при подходящо групиране сумата на свободните членове е равна. Умножаваме първия с четвъртия, съответно втория с третия двучлен и получаваме$$(x^2+20x+36)(x^2+20x+75)+360=0$$Полагаме израза в първите скоби $x^2+20x+36=t$, тогава уравнението придобива вида$$t(t+39)+360=0$$Нататък е лесно$$t^2+39t+360=0;~~t_1=-24,t_2=-15$$В първия случай$$x^2+20x+36=-24\Rightarrow x_{1,2}=-10\pm 2\sqrt{10}$$Във втория случай $$x^2+20x+36=-15\Rightarrow x_3=-17,~x_4=-3$$

[S.B.]

Ето,че по старото златно правило $15 + 5 = 18 + 2$ всичко си дойде на мястото!А какво търсеше $6$ в $(6x + 2) $ - не се знае!
Поздравления ,колега KOPMOPAH!

[Гост]

Ето, че се натъкнахме и на поредната печатна грешка в учебниците, много благодаря за разгадаването на правилното условие!