Да се реши уравнението

[Гост]

[tex]x-3^{2 }[/tex] +3x-22 = [tex]\sqrt{ x^{2 }-3x+7 }[/tex]

[Гост]

Поправка*
[tex](x-3)^{2 }[/tex] + 3x - 22 =[tex]\sqrt{ x^{2 } - 3x + 7}[/tex]

[Hephaestus]

[tex](x - 3)^{2 } + 3x - 22 = \sqrt{x^{2 } - 3x + 7}[/tex]

[tex]x^{2 } - 6x + 9 + 3x - 22 = \sqrt{x^{2 } - 3x + 7}[/tex]

[tex]x^{2 } - 3x - 13 = \sqrt{x^{2 } - 3x + 7}[/tex]

[tex]x^{2 } - 3x + 7 - 20 = \sqrt{x^{2 } - 3x + 7}[/tex]

Полагаме [tex]\sqrt{x^{2 } - 3x + 7} = t, t > 0[/tex]. Тогава уравнението е еквивалентно на [tex]t^{2 } - 20 = t[/tex]

Корените на [tex]t^{2 } - t - 20 = 0[/tex] са [tex]t_{1 } = -4, t_{2 } = 5[/tex]. Тъй като [tex]t_{1 } = -4 < 0[/tex], вземаме предвид само [tex]t_{2 } = 5[/tex]

Връщаме се в полагането: [tex]\sqrt{x^{2 } - 3x + 7} = 5 \Leftrightarrow x^{2 } - 3x + 7 = 25[/tex]
Получаваме квадратното уравнение [tex]x^{2 } - 3x - 18 = 0[/tex] с корени [tex]x_{1 } = -3, x_{2 } = 6[/tex]

Не забравяме да направим проверка:

[tex](-6)^2 + 3.(-3) - 22 \stackrel{?}{=} \sqrt{(-3)^2 - 3.(-3) + 7} \Rightarrow 36 - 9 - 22 \stackrel{?}{=} \sqrt{9 + 9 + 7} \Rightarrow 5 \stackrel{?}{=} \sqrt{25} \Rightarrow 5 = 5[/tex] [tex]\checkmark[/tex]

[tex](3)^2 + 3.6 - 22 \stackrel{?}{=} \sqrt{6^2 - 3.6 + 7} \Rightarrow 9 + 18 - 22 \stackrel{?}{=} \sqrt{36 - 18 + 7} \Rightarrow 5 \stackrel{?}{=} \sqrt{25} \Rightarrow 5 = 5[/tex] [tex]\checkmark[/tex]

Окончателно, решения на уравнението са [tex]x_{1 } = -3, x_{2 } = 6[/tex].