Брой решения

[Гост]

Определете броя на решенията на уравнението :
[tex]x^{3 }[/tex] - 12x + 1 = 0
Отговор : 3 различни реални корена

[Jack]

Определете броя на решенията на уравнението :
[tex]x^{3 }[/tex] - 12x + 1 = 0
Отговор : 3 различни реални корена

Ще използваме Формула на Кардано.

$$x^{3} - 12x + 1 = 0$$

$$y^{3} + py + q = 0$$
$$ax^{3} + bx^{2} + cx + d = 0$$

$a = 1$
$b = 0$
$c = -12$
$d = 1$

Нека $Q$ играе ролята на дискриминанта в уравнението $y^{3} + py + q = 0$.
Нека $D$ играе ролята на дискриминанта в уравнението $ax^{3} + bx^{2} + cx + d = 0$.

$$Q = -\frac{D}{108a^{4}}$$
$$D = 18abcd - 4b^{3}d + b^{2}c^{2} - 4ac^{3} - 27a^{2}d^{2} = 0 - 0 + 0 - (-6912) - 27 = 6912 + 27 = 6939$$
$$Q = -\frac{D}{108a^{4}} = -\frac{6939}{108} = -64.25$$

Ако $D > 0$ и $Q < 0$, уравнението има $3$ различни реални корени.

[peyo]

Определете броя на решенията на уравнението :
[tex]x^{3 }[/tex] - 12x + 1 = 0
Отговор : 3 различни реални корена

Ще използваме Формула на Кардано.

...

Аз предлагам, относително по-лесен метод, поне ще е такъв за тези които не знаят формулата на Кардано.

Производната на полинома ще е от 2-ра степен и ще има вероятно 2 реални корена. Ако стойностите на полинома в тези 2 точки са положителна/отрицателна или отрицателна/положителна то полинома ще има 3 реални корена.

Да видим картинката на полинома и неговата производна:

hdgfjhdgjsdhgs.png (28.44 KiB) Прегледано 1642 пъти