Уравнение с кубичен корен

[Hephaestus]

Да се реши уравнението: [tex]\hspace{0.1cm}2 \sqrt[3]{2x-1} - 1 = x^{3 }[/tex]

[nikola.topalov]

Като построим графиките на функциите [tex]f(x)=2\sqrt[3]{2x-1}[/tex] и [tex]g(x)=x^3-1[/tex] се вижда, че даденото уравнение има корен [tex]x_0>1[/tex]. Точната му стойност обаче не мога да кажа колко е.

[peyo]

Като построим графиките на функциите [tex]f(x)=2\sqrt[3]{2x-1}[/tex] и [tex]g(x)=x^3-1[/tex] се вижда, че даденото уравнение има корен [tex]x_0>1[/tex]. Точната му стойност обаче не мога да кажа колко е.

1 е отговор. Може би остава да се докаже, че е отговора е само 1.

[mail_dinko]

Wolframalfa показва, че решение е и [tex]x=\frac {\sqrt {5}-1}{2}[/tex], освен х=1. Но идея си нямам как се решава

[Nathi123]

За да се реши уравнението с помощта на изследване на поведението на функции,трябва да се разгледат функциите f(x) = 2[tex]\sqrt[3]{2x-1}[/tex] и g(x)=[tex]x^{3 }+1[/tex]. Те имат положителни (втората - неотрицателна) производни.[tex]\lim_{x \to \pm \infty }f(x)= \pm \infty[/tex];[tex]\lim_{x \to \pm \infty }g(x)= \pm \infty[/tex].
Т.е. те са растящи в/у цялата числова ос и ако графиките им се пресичат,то е само в една точка .При х=1 [tex]\Rightarrow[/tex]f(1)=g(1).Първата функция няма инфл. точки, а втората има само една - х = 0.Затова х = 1 е единствено решение на уравнението.

[pal702004]

Уравнението има 3 реални корена (и 6 комплексни). При повдигане на куб се получава полинома $f(x)=x^9+3x^6+3x^3-16x+9$

който се факторизира $f(x)=(x-1)(x^2+x-1)(x^6+2x^4+2x^3+4x^2+2x+9)$
(за съжаление едва ли е възможно без комп. техника, единицата е очевидна, но другото...)

Третият множител е очевидно положителен за всяко x, така че корените са $x=1,\;x=\dfrac{-1\pm \sqrt 5}{2}$

[nikola.topalov]

Като построим графиките на функциите [tex]f(x)=2\sqrt[3]{2x-1}[/tex] и [tex]g(x)=x^3-1[/tex] се вижда, че даденото уравнение има корен [tex]x_0>1[/tex]. Точната му стойност обаче не мога да кажа колко е.

Аз съм писал [tex]g(x)=x^3-1[/tex] вместо [tex]g(x)=x^3+1[/tex].

[ins-]

Може да се направи полагането: [tex]y=\frac{x^3+1}{2}[/tex]

[Гост]

Уравнението има 3 реални корена (и 6 комплексни). При повдигане на куб се получава полинома $f(x)=x^9+3x^6+3x^3-16x+9$

който се факторизира $f(x)=(x-1)(x^2+x-1)(x^6+2x^4+2x^3+4x^2+2x+9)$
(за съжаление едва ли е възможно без комп. техника, единицата е очевидна, но другото...)

Третият множител е очевидно положителен за всяко x, така че корените са $x=1,\;x=\dfrac{-1\pm \sqrt 5}{2}$

(-1-sqrt(5))/2 май не е решение.

https://www.wolframalpha.com/input?i=2*%28%282%28%28-1-sqrt%285%29%29%2F2%29-1%29%5E%281%2F3%29%29-1%3D%28%28-1-sqrt%285%29%29%2F2%29%5E3

[pal702004]

Използвай, но не се доверявай сляпо на машините. Направи си проверка. А и няма как ирационален корен да си няма "другарче".

Аз също направих факторизацията с Волфрам

[pal702004]

Пробвай твоя линк така
https://www.wolframalpha.com/input?i=2*%28%282%28%28-1-sqrt%285%29%29%2F2%29-1%29%5E%281%2F3%29%29-1%3D%28%28-1-sqrt%285%29%29%2F2%29%5E3&assumption=%22%5E%22+-%3E+%22Real%22

Проблема е обсастта на определение. Например $sqrt[3] {-1}$ Ако разглеждаме $-1$ в областта на реалните числа, то резулата е $-1$. В областта на комплексните обаче няма биекция м/у аргумент и стойност. Има 3 различни стойности на резултата и волфрам не избира реалния (ако не се укаже изрично)

комплексни

реални

[Hephaestus]

Благодаря на всички за вниманието към задачата! Има интересни предложения, а моят подход е като този на колегата ins-:

Имаме [tex]\hspace{0.1cm} 2 \sqrt[3]{2x-1} - 1 = x^{3} \hspace{0.1cm} \Leftrightarrow \hspace{0.1cm} \sqrt[3]{2x-1} = \frac{x^{3}+1}{2}[/tex]

Като положим [tex]\hspace{0.1cm} y = \frac{x^{3}+1}{2}[/tex], имаме [tex]\hspace{0.1cm} \sqrt[3]{2x-1} = y \Rightarrow 2x - 1 = y^{3} \Rightarrow x = \frac{y^{3}+1}{2}[/tex]

Достигаме до системата [tex]\hspace{0.1cm} \begin{array}{|l} x = \frac{y^{3}+1}{2} \\ y = \frac{x^{3}+1}{2} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 2x = y^{3} + 1 \\ 2y = x^{3} + 1 \end{array}[/tex]

Изваждаме почленно: [tex]\hspace{0.1cm} 2x - 2y = y^{3} + 1 - x^{3} - 1 \hspace{0.1cm} \Leftrightarrow \hspace{0.1cm} 2(x-y) + x^{3} - y^{3} = 0[/tex]

[tex]2(x-y) + (x - y)(x^{2}+xy+y^{2}) = 0[/tex]

[tex](x-y)(x^{2}+xy+y^{2} + 2) = 0[/tex]

Тъй като [tex]\hspace{0.1cm} x^{2}+xy+y^{2} + 2 = \left(x+ \frac{y}{2} \right)^{2} + \frac{3}{4}y^{2} + 2 > 0 \hspace{0.1cm}[/tex] за [tex]\hspace{0.1cm} \forall x \forall y[/tex], то това равенство е изпълнено само когато [tex]x = y[/tex]

Следователно получаваме уравнението [tex]\hspace{0.1cm} 2x = x^{3} + 1 \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} x^{3} - 2x + 1 = 0[/tex]

[tex]x^{3} - 2x + 1 = 0 \hspace{0.1cm} \Leftrightarrow \hspace{0.1cm} (x-1)(x^2+x-1) = 0\hspace{0.1cm}[/tex] и търсените решения са [tex]\hspace{0.1cm} x_{1 } = 1, \hspace{0.1cm} x_{2,3 } = \frac{-1 \pm \sqrt{5} }{2}[/tex]
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Друг подход би следвал от наблюдението, че функцията [tex]g(x) = \frac{x^{3}+1}{2} \hspace{0.1cm}[/tex] се явява обратна на функцията [tex]f(x) = \sqrt[3]{2x-1}[/tex], тоест [tex]g(x)=f^{-1}(x)[/tex]. Имаме уравнение от вида [tex]f(x) = f^{-1}(x)[/tex], в което се търсят пресечните точки на дадена функция с нейната обратна. Знаем, че графиките на една функция и на нейната обратна са огледални (симетрични) спрямо правата [tex]y = x[/tex] в стандартната [tex]Oxy[/tex] координатна система. Това означава, че ако [tex]f(x)[/tex] и [tex]f^{-1}(x)[/tex] имат пресечни точки, то тези точки ще лежат на правата [tex]y=x[/tex]. Следователно което и да е от уравненията [tex]\hspace{0.1cm} \sqrt[3]{2x-1} = x \hspace{0.1cm}[/tex] или [tex]\hspace{0.1cm} \frac{x^{3}+1}{2} = x \hspace{0.1cm}[/tex] решим, то получените реални решения напълно ще съвпадат с реалните решения на първоначалното уравнение.

[Гост]

друг такъв пример има тука
https://www.matematika.bg/f/viewtopic.php?f=85&t=27965