Как?

[Гост]

Как се решава [tex]x^{5 }+2 x^{4 }+2 x^{3 }+4 x^{2 } +5x+2=0[/tex], ако е известно, че има тройна нула?

[ammornil]

Уравнението има тройна нула, тоест три от реалните му решения имат равни стойности ([tex]x_{1}=x_{2}=x_{3}[/tex]).
Вижда се, че за [tex]x \ge 0[/tex] уравнението няма решения, защото всички едночлени приемат положителни стойности или нула, следователно сборът им никога не е по-малък от 2.
Тогава всички реални решения на дадения едночлен са отрицателни.
Съгласно схема (правило) на Хорнер, реалните корени на степенно уравнение са сред частните, образувани от делителите на свободния член и старшия коефициент. В случая старшият коефициент е 1, а свободният член е 2.
Делителите на старшия коефициент са [tex]\pm1[/tex], а на свободният член са [tex]\pm1, \pm2[/tex].
Тогава, според Хорнер, реалните корени на даденото уравнение са сред частните: [tex]\frac{-1}{-1}=1, \frac{-1}{1}=-1, \frac{1}{-1}=-1, \frac{1}{1}=1, \frac{-2}{-1}=2, \frac{-2}{1}=-2[/tex], откъдето възможни решения без повторенията са [tex]1, -1, 2, -2[/tex].
Вече показахме, че положителните числа не може да са решения, следователно пробваме с отрицателните.
По-долу е показаха схемата на Хорнер и как се разлага дадения многочлен след всяка итерация (повторение на правилото, приложено за оставащия многочлен, след деление с едно частно решение).

Screenshot 2022-04-12 235136.png (70.57 KiB) Прегледано 1659 пъти

Ако за [tex]b_{n}[/tex] се получи число различно от 0, то [tex]x_{1}[/tex]не е корен на уравнението.
Ако за [tex]b_{n}[/tex] се получи 0, то [tex]x_{1}[/tex] е корен на уравнението. Пробваме отново със същото число, но този път на местата на [tex]a_{1}, a_{2}..., a_{n-1}[/tex] записваме стойностите на [tex]b_{1}, b_{2}..., b_{n-1}[/tex].
Всеки път, когато намерим корен, оставащият в последната скоба многочлен е от степен с едно по-ниска от предходното повторение.

Скрит текст: покажи

Screenshot 2022-04-12 234159.png (132.74 KiB) Прегледано 1659 пъти

Надявам се това да Ви е от полза.

[pal702004]

реалните корени на степенно уравнение са сред частните, образувани от делителите на свободния член и старшия коефициент.

Рационалните, ако има такива. Разбира се, проверката за рационални корени никога не е излишна и тук върши работа, но не е панацея. Аз бих използвал или формулите на Виет, или това, че $f(x_1)=0,f'(x_1)=0,f''(x_1)=0$

Особенно първата производна е със симетрични коефициенти и уравнението се решава.