уравнение

[ivlovech]

Да се реши в цели числа уравнението: [tex]xy=2y^2+3x+1[/tex]

[Jack]

Да се реши в цели числа уравнението: [tex]xy=2y^2+3x+1[/tex]

$xy - 3x = 2y^{2} + 1$
$x(y - 3) = 2y^{2} + 1$

$x = \frac{2y^{2}}{y-3} + \frac{1}{y-3} = \frac{2y^{2} + 1}{y-3} = \frac{2y(y-3)+6y+1}{y-3} = 2y + \frac{6y+1}{y-3} = 2y + \frac{6(y-3) + 19}{y-3} = 2y + 6 + \frac{19}{y-3}$

Понеже $x$ искаме да е цяло, то $\frac{19}{y-3}$ трябва да е цяло, тоест $(y-3)|19$. [tex]\Rightarrow[/tex]

$y - 3 = \pm1, \pm19$

Първи случай:
$y - 3 = 1$
$y = 4, x = 2 \times 4 + 6 + \frac{19}{4-3} = 8 + 6 + 19 = 33$

Втори случай:
$y - 3 = -1$
$y = 2, x = 2 \times 2 + 6 + \frac{19}{2 - 3} = 4 + 6 - 19 = -9$

Трети случай:
$y - 3 = 19$
$y = 22, x = 2 \times 22 + 6 + \frac{19}{22-3} = 44 + 6 + 1 = 51$

Четвърти случай:
$y - 3 = -19$
$y = -16, x = 2 \times (-16) + 6 + \frac{19}{-16-3} = -32 + 6 - 1 = -27$

Отговор:
$$x = 33, y = 4$$
$$x = -9, y = 2$$
$$x = 51, y = 22$$
$$x = -27, y = -16$$