За кои стойности на параметъра к корените на уравнението се

[Гост]

За кои стойности на параметъра к корените на уравнението [tex]4 x^{2 } -4kx+ k^{2 }-4=0[/tex] се намират между -3 и 4?

[peyo]

За кои стойности на параметъра к корените на уравнението [tex]4 x^{2 } -4kx+ k^{2 }-4=0[/tex] се намират между -3 и 4?

Обикновено просто ще решим директно квадратното уравнението спрямо х, но забелязваме, че някой се е постарал да докара нещата до точен квадрат, затова да видим за какво е това:

[tex](2 x)^{2 } -2(2x)k+ k^{2 }=4[/tex]

[tex](2 x -k)^{2 }=2^2[/tex]
или:
[tex]\pm (2 x -k)=2[/tex]


$ x_{1} = k/2 -1$
$ x_{2} = k/2 +1$

След като решихме квадратното уравнение по този усложнен начин, остава да поискаме:
$-3 \le x_1 \le x_2 \le 4$

$-3 \le k/2 -1$
$-4 \le k/2 $
$-8 \le k $

$ k/2 +1 \le 4$
$ k/2 \le 3$
$ k \le 6$

Или :

$-8 \le k \le 6$

[KOPMOPAH]

Щом се иска $$-3\le x_1 \le 4 \\ -3\le x_2 \le 4,$$събирайки почленно неравенствата, получаваме $$-6\le \underbrace{x_1+x_2}_{\displaystyle \frac{-(-4k)}{4}=k} \le 8 \Rightarrow -6\le k \le 8$$

[Гост]

E кое е верното решение? Щото на Корморан е по-кратко и по-ясно ма са различни

[Гост]

За кои стойности на параметъра к корените на уравнението [tex]4 x^{2 } -4kx+ k^{2 }-4=0[/tex] се намират между -3 и 4?

За да е изпълнено изискването [tex]- 3 < x_{1 }< x_{2 }< 4[/tex]
трябва да са изпълнени усложията:
[tex]\begin{array}{|l} D \ge 0\\ 4f(-3) > 0\\4f(4)>0\\-3< - \displaystyle \frac{-4k}{8}< 4 \end{array}[/tex]

,където [tex]f(x) = 4 x^{2 } - 4kx + k^{2 } - 4 = 0[/tex]
[tex]D = 16 k^{2 } - 16 k^{2 } + 64 = 64>0[/tex]
[tex]4.f(- 3)>0 \Leftrightarrow 4( k^{2 } + 12k + 32)>0 \Leftrightarrow (k + 4)(k + 8) > 0[/tex]
[tex]4.f(4) > 0 \Leftrightarrow 4.( k^{2 }- 16k +60)>0 \Leftrightarrow (k - 6)(k - 10) > 0[/tex]
[tex]-3 < - \frac{a}{b} < 4 \Leftrightarrow -3 < \frac{4к}{8} < 4 \Leftrightarrow -6 < k < 8[/tex]
Тогава се получава следната система:
[tex]\begin{array}{|l} (k + 4)(k + 8) > 0 \\ (k - 6)(k - 10) > 0 \\ k \in (- 6; 8) \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} k \in(- \infty ; -8) \cup(-4;+ \infty) \\ k \in (- \infty; 6) \cup( 10 ; + \infty)\\k \in (- 6; 8) \end{array}[/tex]
$$\Rightarrow k \in (-4;6)$$

[Гост]

За кои стойности на параметъра к корените на уравнението [tex]4 x^{2 } -4kx+ k^{2 }-4=0[/tex] се намират между -3 и 4?

За да е изпълнено изискването [tex]- 3 < x_{1 }< x_{2 }< 4[/tex]
трябва да са изпълнени усложията:
[tex]\begin{array}{|l} D \ge 0\\ 4f(-3) > 0\\4f(4)>0\\-3< - \displaystyle \frac{-4k}{8}< 4 \end{array}[/tex]

където [tex]f(x) = 4 x^{2 } - 4kx + k^{2 } - 4[/tex]
[tex]D = 16 k^{2 } - 16 k^{2 } + 64 = 64>0[/tex]
[tex]4.f(- 3)>0 \Leftrightarrow 4( k^{2 } + 12k + 32)>0 \Leftrightarrow (k + 4)(k + 8) > 0[/tex]
[tex]4.f(4) > 0 \Leftrightarrow 4.( k^{2 }- 16k +60)>0 \Leftrightarrow (k - 6)(k - 10) > 0[/tex]
[tex]-3 < - \frac{b}{2a} < 4 \Leftrightarrow -3 < \frac{4к}{8} < 4 \Leftrightarrow -6 < k < 8[/tex]
Тогава се получава следната система:
[tex]\begin{array}{|l} (k + 4)(k + 8) > 0 \\ (k - 6)(k - 10) > 0 \\ k \in (- 6; 8) \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} k \in(- \infty ; -8) \cup(-4;+ \infty) \\ k \in (- \infty; 6) \cup( 10 ; + \infty)\\k \in (- 6; 8) \end{array}[/tex]
$$\Rightarrow k \in (-4;6)$$

[Гост]

E кое е верното решение? Щото на Корморан е по-кратко и по-ясно ма са различни

Е,аз получих нещо,което е различно и от peyo и от KOPMOPAH.Мисля,че то е вярното решение.
Когато се изисква : [tex]p < x_{1 } \le x_{2 } < q[/tex] то тогава трябва да са изпълнени следните условия [tex]\begin{array}{|l} D \ge 0\\ a.f(p)>0\\a.f(q) >0\\ p < \displaystyle - \frac{b}{2a} < q \end{array}[/tex],където [tex]f(x) = a x^{2 } + bx + c[/tex]
Урокът,който трябва да прочетеш е "Разположение на корените на квадратното уравнение върху абцисната ос"

[Гост]

Ако се замести с k=-5,което е от интервала на peyo става [tex]4x^2+20x+21=0[/tex] [tex]x_1=-7/2[/tex] [tex]x_2=-3/2[/tex] [tex]x_1<-3 [/tex]

[Jack]

За кои стойности на параметъра к корените на уравнението [tex]4 x^{2 } -4kx+ k^{2 }-4=0[/tex] се намират между -3 и 4?

Обикновено просто ще решим директно квадратното уравнението спрямо х, но забелязваме, че някой се е постарал да докара нещата до точен квадрат, затова да видим за какво е това:

[tex](2 x)^{2 } -2(2x)k+ k^{2 }=4[/tex]

[tex](2 x -k)^{2 }=2^2[/tex]
или:
[tex]\pm (2 x -k)=2[/tex]


$ x_{1} = k/2 -1$
$ x_{2} = k/2 +1$

След като решихме квадратното уравнение по този усложнен начин, остава да поискаме:
$-3 \le x_1 \le x_2 \le 4$

$-3 \le k/2 -1$
$-2$ $\le k/2 $
$-8 \le k $

$ k/2 +1 \le 4$
$ k/2 \le 3$
$ k \le 6$

Или :

$-8 \le k \le 6$

В условието е казано, че се иска корени между $-3$ и $4$, тоест всички [tex]\le[/tex] и [tex]\ge[/tex] трябва да станат на $<$ и $>$.
Също $-3+1=-2$, а не $-4$.

След корекциите, които видях, получаваме отговорът на гост $(-4; 6)$

[peyo]

Тази задача се оказа много интересна с това, че имаме няколко решения, което означава, че повечето са грешни. Да видим кое е правилно като накараме компютъра да намери решението и да ни го нарисува, защото докато не видим картинка няма да повярваме:

Код: Избери целия код

from sympy import *
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
var("x,k")
f = 4*x**2-4*k*x+k**2-4
X1,X2,K=[],[],[]
for p in np.arange( -8,8,0.1):
   f_k = f.subs(k,p)
   x1,x2 = solve(f_k)
   if -3 < x1 < 4 and -3 < x2 < 4:
      K.append(p)
      X1.append(x1)
      X2.append(x2)
plt.plot(K,X1)
plt.plot(K,X2)
plt.plot([-8,8],[-3,-3])
plt.plot([-8,8],[4,4])
plt.show()

И резултата е:

Figure_1.png (18.2 KiB) Прегледано 2004 пъти

Или (-4,6).

Първото вярно решение е от Гост » 16 Окт 2022, 20:49 ! Честито на спечелилите!

[pal702004]

Тази задача се оказа много интересна с това, че имаме няколко решения, което означава, че повечето са грешни. Да видим кое е правилно като накараме компютъра да намери решението и да ни го нарисува, защото докато не видим картинка няма да повярваме:

Глупости. Задачата е елементарна, най-малкото за това, че самите корени са очевидни.

Просто правилно трябваше да решиш неравенството $-3 \le k/2-1$

[peyo]

Тази задача се оказа много интересна с това, че имаме няколко решения, което означава, че повечето са грешни. Да видим кое е правилно като накараме компютъра да намери решението и да ни го нарисува, защото докато не видим картинка няма да повярваме:

Глупости. Задачата е елементарна, най-малкото за това, че самите корени са очевидни.

Просто правилно трябваше да решиш неравенството $-3 \le k/2-1$

...
$-3 \le k/2 -1$
$-4 \le k/2 $
$-8 \le k $
...

Ще го реша правилно тук за пълнота:

$-3 \le k/2 -1$
$-2 \le k/2$
$-4 \le k$

Но както някой отбеляза объркал съм и затворен/отворен интервал, трябва да е:
$-4 < k$