[tex](\frac{1+a^2}{2a})^x-(\frac{1-a^2}{2a})^x=1[/tex]

[Гост]

[tex](\frac{1+a^2}{2a})^x-(\frac{1-a^2}{2a})^x=1[/tex], 0<a<1

[S.B.]

[tex]\frac{a}{b}[/tex]

[tex](\frac{1+a^2}{2a})^x-(\frac{1-a^2}{2a})^x=1[/tex], 0<a<1

[tex]( \frac{1 + a^{2 } }{2a}) ^{x } - ( \frac{1 - a^{2 } }{2a}) ^{x } = 1, a \in (0;1)[/tex]
Очевидно [tex]x = 0[/tex] и [tex]x = 1[/tex] не са решения на уравнението
Нека [tex]a = \tg \frac{ \varphi }{2} , a \in (0;1) \Rightarrow \tg \frac{ \varphi }{2} \in (0;1)[/tex] ,тогава [tex]\frac{ \varphi }{2} \in (0;45 ^\circ ) \Rightarrow \varphi \in (0;90 ^\circ)[/tex]

[tex]\frac{1 + a^{2 } }{2a} =\frac{1 + \tg^{2 } \frac{ \varphi }{2} }{2\tg \frac{ \varphi }{2} } = \frac{1+\frac{ \sin^{2 } \frac{ \varphi }{2} }{ \cos^{2 } \frac{ \varphi }{2} } }{2 \frac{\sin \frac{ \varphi }{2} }{\cos \frac{ \varphi }{2} } } = \frac{ \frac{ \cos^{2 } \frac{ \varphi }{2} + \sin^{2 } \frac{ \varphi }{2} }{ \cos^{2 } \frac{ \varphi }{2} } }{2 \frac{\sin \frac{ \varphi }{2} }{\cos\frac{ \varphi }{b2} } } = \frac{1}{2\sin \frac{ \varphi }{2}\cos \frac{ \varphi }{2} } = \frac{1}{\sin \varphi }[/tex]

[tex]\frac{1 - a^{2 } }{2a} = \frac{1 - \tg^{2 } \frac{ \varphi }{2} }{2\tg \frac{ \varphi }{2} } = \frac{1 - \frac{ \sin^{2 } \frac{ \varphi }{2} }{ \cos^{2 } \frac{ \varphi }{2} } }{2 \frac{\sin \frac{ \varphi }{2} }{\cos \frac{ \varphi }{2} } } = \frac{ \frac{ \cos^{2 } \frac{ \varphi }{2} - \sin^{2 } \frac{ \varphi }{2} }{ \cos^{2 } \frac{ \varphi }{2} } }{2 \frac{\sin \frac{ \varphi }{2} }{\cos \frac{ \varphi }{2} } } = \frac{\cos \varphi }{2\sin \frac{ \varphi }{2} \cos \frac{ \varphi }{2} } = \frac{\cos \varphi }{\sin \varphi }[/tex]

Замествам полученото в първоначалното уравнение и получавам:

[tex]( \frac{1}{\sin \varphi }) ^{x } - ( \frac{\cos \varphi }{\sin \varphi }) ^{x } = 1 \Leftrightarrow \frac{ 1 }{ (\sin \varphi) ^{x } } - \frac{ (\cos \varphi) ^{x } }{ (\sin \varphi) ^{x } } = 1 \Leftrightarrow 1 - \cos^{x } \varphi = \sin^{x } \varphi \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\sin^{x } \varphi + \cos^{x } \varphi = 1 \Rightarrow x = 2[/tex] (от основното тригонометрично равенство)

Проверка
-------------------
[tex]( \frac{1 + a^{2 } }{2a}) ^{2 } - ( \frac{1 - a^{2 } }{2a}) ^{2 } =[/tex]
[tex]= ( \frac{1 + a^{2 } }{2a} + \frac{1 - a^{2 } }{2a})( \frac{1 + a^{2 } }{2a} - \frac{1 - a^{2 } }{2a}) = \frac{2}{2a}. \frac{2 a^{2 } }{2a} = \frac{4 a^{2 } }{4 a^{2 } } = 1[/tex]

[Гост]

znachi njakolko vaprosa:
1. Zashto sa slozhili a da e mezhdu 0 i 1? Kakvo stava, ako a>1 ili a<0?
2. mozhe li da se napravi drugo polagane s edna ot funkciite sin, cos, tan, cot?
3. x=2 edinstveno reshenie li e? Kak se dokazva?

[Гост]

znachi tri vaprosa - edin glupav, edin neutralen I edin sravnitelno smislen.

[Гост]

znachi tri vaprosa - edin glupav, edin neutralen I edin sravnitelno smislen.

zapochni ot glupavija

[pal702004]

Въпрости не са глупави, още повече че при $x=2$ имаме тъждество за всяко $a \ne 0$. Условието е допълнено, предполагам за да не се стига до отрицателно число в степен $x$, което не е добре.
По 3-ти въпрос, можем да разделим на

$\left(\dfrac{1+a^2}{2a}\right)^x$

и да получим класическото за рационалните питагорови тройки с хипотенуза 1:

$1=\left(\dfrac{1-a^2}{1+a^2}\right)^x+\left(\dfrac{2a}{1+a^2}\right)^x$

и спокойно имаме право да положим изразите вътре в скобките $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$

и става $1=\sin^x \alpha +\cos^x \alpha$

като $\alpha$ е в първата четвърт. И при $x=2$ всичко е ок.

При $x<0$ и двете събираеми стават по-големи от 1.

При $x<2, \sin^x \alpha>\sin^2 \alpha, \; \cos^x \alpha>\cos^2 \alpha$

И съответно сбора им ще е по-голям от 1. При $x>2$ - обратното.

[Гост]

mnogo dobre, otgovori i na trite

[S.B.]

znachi njakolko vaprosa:
1. Zashto sa slozhili a da e mezhdu 0 i 1? Kakvo stava, ako a>1 ili a<0?
2. mozhe li da se napravi drugo polagane s edna ot funkciite sin, cos, tan, cot?
3. x=2 edinstveno reshenie li e? Kak se dokazva?

1)Уравненението е показателно,следователно основата на степента трябва да е положителна:

От [tex]\begin{cases} \displaystyle \frac{2a}{1 + a^{2 } }>0 \\ 1 + a^{2 }> 0 \end{cases} \Rightarrow 2a>0 \Rightarrow a>0[/tex]

От[tex]\begin{cases} a > 0 \\ \displaystyle \frac{2a}{1 - a^{2 } }>0 \rightarrow 1 - a^{2 }> 0 \Rightarrow a<1\end{cases}[/tex]
$$\Rightarrow a \in (0 ; 1)$$

2)Известно е,че :
[tex]\sin \alpha = \frac{2 \tg \frac{ \alpha }{2} }{1 + \tg^{2 } \frac{ \alpha }{2} }[/tex] , а [tex]\cos \alpha = \frac{1 - \tg^{2 } \frac{ \alpha }{2} }{1 + \tg^{2 } \frac{ \alpha }{2} }[/tex]
От тук много близко до ума е ,че :
[tex]\frac{1 + a^{2 } }{2a}[/tex] може да се замести с [tex]\frac{1}{\sin \alpha }[/tex] ,
а след малко мислене и [tex]\frac{2a}{1 - a^{2 } } = \cotg \alpha[/tex]

За по изчистен вариант аз предпочетох субституцията [tex]a = \tg \frac{ \alpha }{2}[/tex]

3)

Без заглавие - 2022-11-01T071622.905.png (186.68 KiB) Прегледано 2259 пъти

От тук,като се има предвид,че [tex]\sin \alpha[/tex] и [tex]\cos \alpha[/tex] са функции на един и същи ъгъл [tex]\alpha[/tex] , според Питагорова теорема ,като се вземе предвид,че хипотенузата на [tex]\triangle OM M_{1 } - OM = R[/tex] ,където $R=1$ е радиуса на единичната окръжност ,то $x = 2$ е единствено решение.

[peyo]

In [95]: f = ((1+a**2)/(2*a))**x - ((1-a**2)/(2*a))**x -1
In [99]: plot(f.subs(a,0.95),f.subs(a,0.5),f.subs(a,0.1),(x,-0.1,2.5))

Figure_1.png (25.23 KiB) Прегледано 2251 пъти

[Гост]

znachi njakolko vaprosa:
1. Zashto sa slozhili a da e mezhdu 0 i 1? Kakvo stava, ako a>1 ili a<0?
2. mozhe li da se napravi drugo polagane s edna ot funkciite sin, cos, tan, cot?
3. x=2 edinstveno reshenie li e? Kak se dokazva?

1)Уравненението е показателно,следователно основата на степента трябва да е положителна:

От [tex]\begin{cases} \displaystyle \frac{2a}{1 + a^{2 } }>0 \\ 1 + a^{2 }> 0 \end{cases} \Rightarrow 2a>0 \Rightarrow a>0[/tex]

От[tex]\begin{cases} a > 0 \\ \displaystyle \frac{2a}{1 - a^{2 } }>0 \rightarrow 1 - a^{2 }> 0 \Rightarrow a<1\end{cases}[/tex]
$$\Rightarrow a \in (0 ; 1)$$

2)Известно е,че :
[tex]\sin \alpha = \frac{2 \tg \frac{ \alpha }{2} }{1 + \tg^{2 } \frac{ \alpha }{2} }[/tex] , а [tex]\cos \alpha = \frac{1 - \tg^{2 } \frac{ \alpha }{2} }{1 + \tg^{2 } \frac{ \alpha }{2} }[/tex]
От тук много близко до ума е ,че :
[tex]\frac{1 + a^{2 } }{2a}[/tex] може да се замести с [tex]\frac{1}{\sin \alpha }[/tex] ,
а след малко мислене и [tex]\frac{2a}{1 - a^{2 } } = \cotg \alpha[/tex]

За по изчистен вариант аз предпочетох субституцията [tex]a = \tg \frac{ \alpha }{2}[/tex]

3)

Без заглавие - 2022-11-01T071622.905.png

От тук,като се има предвид,че [tex]\sin \alpha[/tex] и [tex]\cos \alpha[/tex] са функции на един и същи ъгъл [tex]\alpha[/tex] , според Питагорова теорема ,като се вземе предвид,че хипотенузата на [tex]\triangle OM M_{1 } - OM = R[/tex] ,където $R=1$ е радиуса на единичната окръжност ,то $x = 2$ е единствено решение.

za 1 i 2 dobre; za 3. ot pravougulnoka edinstveno sledva, che [tex]cos^{2 }x+ sin^{2 }x=1[/tex]; drugo e objasnenieto; kakvo e to?

[Гост]

*pravougulnija [tex]\triangle[/tex]

[Гост]

* [tex]sin^{2 } \varphi + cos^{2 } \varphi=1[/tex]