Задача

[Гост]

Определете при кои стойности на реалния параметър а уравненията [tex]x^{2 }+ax+1=0[/tex] и[tex]x^{2 }+x+a=0[/tex] имат поне един общ корен.

[pal702004]

$a=1,a=-2$

[Гост]

Получих, че няма такава.

[pal702004]

Получих, че няма такава.

Ами браво. А още по-голямо браво, че го написа след като дадох отговора. Хайде, да речем че под корени разбираш само реални, но поне $а=-2$ можеше да провериш.
Решение: Нека корените на първото са $(x_1,x_2)$, а на второто $(x_1,x_3)$. От Виет

[tex]\begin{array}{|l} x_1+x_2=-a \\ x_1x_2=1 \\ x_1+x_3=-1 \\ x_1x_3=a \end{array}[/tex]

От третото изваждаме първото, получаваме $x_3-x_2=a-1\;\;\;(*)$

$x_1x_2 \ne 0$ затова делим четвъртото на второто, $\frac{x_3}{x_2}=a$ или $x_3=ax_2$. Заместваме $x_3$ в $(*)$

$ax_2-x_2=a-1$ или $x_2(a-1)=(a-1)$

Откъдето $a=1$ или $x_2=1$

При $a=1$ уравненията са еднакви и имат еднакви (макар и комплексни) корени.

При $x_2=1$ получаваме $x_1=1,a=-2$

Първото уравнение става $x^2-2x+1=0$ с корени $x_1=x_2=1$

Второто става $x^2+x-2=0$ с корени $x_1=1,x_3=-2$

[S.B.]

Определете при кои стойности на реалния параметър а уравненията [tex]x^{2 }+ax+1=0[/tex] и[tex]x^{2 }+x+a=0[/tex] имат поне един общ корен.

Ето и още един поглед върху задачата:

Нека образувам:
[tex]y_{1 }(x) = x^{2 } + ax + 1[/tex]
[tex]y_{2 }(x) = x^{2 } + x + a[/tex]
Търсим пресечната точка на двете параболи [tex]X( x_{0 }; 0)[/tex]:
[tex]y_{1 }(x) = y_{2 }(x) \Leftrightarrow x^{2 } + ax + 1 = x^{2 } + x + a \Leftrightarrow ax + 1 = x + a \Leftrightarrow (a - 1) = a - 1[/tex]
$$\Rightarrow x_{0 } = \frac{a - 1}{a - 1} \Rightarrow x_{0 } = 1$$
1)За [tex]a \ne 1[/tex] двете параболи имат обща абциса [tex]x_{0 } = 1[/tex]
[tex]y_{1 }(1) = 0 \Leftrightarrow 1 + a + 1 = 0 \Rightarrow a = -2[/tex]
[tex]y_{2 }(1) = 0 \Leftrightarrow 1 + 1 + a = 0 \Rightarrow a = -2[/tex]
Точката [tex]X(1;0)[/tex] лежи и на двете параболи за $a = -2$

2)За $a = 1$ уравненията съвпадат , но те нямат решение в областта на реалните числа.