Логаритмично уравнение с параметър

[Гост]

Дадено е уравнението:
[tex]\log_{2 }( 4^{x } + a^{2 }) =x + \log_{2 }( 2^{x + 1 } - 3)[/tex]
където $a$ е реален параметър.
Докажете,че за всяко $a$ , уравнението има единствено решение [tex]x_{0 }[/tex] и определете стойностите на $a$ ,за които [tex]x_{0 } > 3[/tex]

[ammornil]

Дадено е уравнението:
[tex]\log_{2 }( 4^{x } + a^{2 }) =x + \log_{2 }( 2^{x + 1 } - 3)[/tex]
където $a$ е реален параметър.
Докажете,че за всяко $a$ , уравнението има единствено решение [tex]x_{0 }[/tex] и определете стойностите на $a$ ,за които [tex]x_{0 } > 3[/tex]

[tex]\text{Д}x: \begin{array}{|l} 4^{x } + a^{2}>0 \\ 2^{x + 1} - 3 > 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} \forall x \in R \\ 2\cdot{2^{x}}>3 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} \forall x \in R \\ 2^{x}>\frac{\normalsize{3}}{\normalsize{2}} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} \forall x \in R \\ x > \log_{2}{3}-1 \end{array} \Rightarrow x > \log_{2}{3}-1[/tex]

[tex]\log_{2}{(4^{x}+a^{2})}=\log_{2}{2^{x}}+\log_{2}{(2\cdot{2^{x}}-3)} \Leftrightarrow \log_{2}{(4^{x}+a^{2})}=\log_{2}{[2^{x}\cdot{(2\cdot{2^{x}}-3)}]}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \log_{2}{\frac{2^{2x}+a^{2}}{2\cdot{2^{2x}}-3\cdot{2^{x}}}}=\log_{2}{1} \Leftrightarrow \frac{2^{2x}+a^{2}}{2\cdot{2^{2x}}-3\cdot{2^{x}}}=1 \Leftrightarrow 2^{2x}+a^{2}=2\cdot{2^{2x}}-3\cdot{2^{x}}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 2^{2x}-3\cdot{2^{x}}-a^{2}=0[/tex]

[tex]2^{x}=u > 0 \Rightarrow x=\log_{2}{u} \Rightarrow u^{2}-3u-a^{2}=0 \rightarrow D_{u}=(-3)^{2}-4\cdot{1}\cdot{(-a^{2})}=9+4a^{2} > 0; \forall a \in R \rightarrow u_{1,2}=\frac{3 \pm \sqrt{9+4a^{2}}}{2}[/tex]

[tex]u_{1}=\frac{3 - \sqrt{9+4a^{2}}}{2} > 0 \Rightarrow 3 - \sqrt{9+4a^{2}} > 0 \Leftrightarrow \sqrt{9+4a^{2}} < 3 \Leftrightarrow 9+4a^{2} < 9 \Rightarrow 4a^{2} < 0 \rightarrow \nexists a \in R \Rightarrow \nexists u_{1}[/tex]

[tex]u_{2}=\frac{3 + \sqrt{9+4a^{2}}}{2} > 0; \forall a \in R \Rightarrow x_{0}=\log_{2}{\frac{3 + \sqrt{9+4a^{2}}}{2}}[/tex]

[tex]x_{0} \in \text{Д}x \Rightarrow \log_{2}{\frac{3 + \sqrt{9+4a^{2}}}{2}} >\log_{2}{\frac{3}{2}} \Rightarrow \frac{3 + \sqrt{9+4a^{2}}}{2} > \frac{3}{2} \Rightarrow 3 + \sqrt{9+4a^{2}} > 3 \Rightarrow[/tex]

[tex]\sqrt{9+4a^{2}} > 0 \Rightarrow \forall a \in R[/tex] $$ x=\log_{2}{\frac{3 + \sqrt{9+4a^{2}}}{2}}; \hspace{2em} \forall a \in R $$


[tex]\because x_{0}>3 \Rightarrow \log_{2}{\frac{3 + \sqrt{9+4a^{2}}}{2}} > 3 \Leftrightarrow \frac{3 + \sqrt{9+4a^{2}}}{2} > 2^{3} \Leftrightarrow 3 + \sqrt{9+4a^{2}} > 16 \Leftrightarrow \sqrt{9+4a^{2}} > 13 \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 9+4a^{2} > 169 \Leftrightarrow 4a^{2} > 160 \Leftrightarrow a^{2}>40 \Leftrightarrow a > 2\sqrt{10}[/tex]

[S.B.]

[tex]....u^{2}-3u-a^{2}=0[/tex]

За да да докажa,че за [tex]\forall a[/tex] има точно едно решение [tex]x_{0 }[/tex] аз използвам формулите на Виет:
[tex]D = 9 + 4 a^{2 } > 0[/tex] , но [tex]u_{1 }. u_{2 } = - a^{2 } \Rightarrow u_{1 }> 0, u_{2 } < 0 \Rightarrow u_{1 } = 2^{x } \Rightarrow x_{0 } = \log_{2 } u_{1 }[/tex] е единствено решение за [tex]\forall a \in R[/tex] и т.н....
Получавам същия отговор:
$$a> 2 \sqrt{10} $$