Уравнение с параметър

[Гост]

Привет,дали можете да помогнете за решаването на следната задача:
Дадено е уравнението:
( x^2-(a+2)x-3a-3)[tex]\sqrt{(1-a)x+a^2-7}[/tex]=0 , където a е реален параметър. Да се намерят стойностите на a, за които уравнението има поне един реален корен, който е по-малък или равен на 1 и няма корени, по големи от 1.

[S.B.]

Привет,дали можете да помогнете за решаването на следната задача:
Дадено е уравнението:
( x^2-(a+2)x-3a-3)[tex]\sqrt{(1-a)x+a^2-7}[/tex]=0 , където a е реален параметър. Да се намерят стойностите на a, за които уравнението има поне един реален корен, който е по-малък или равен на 1 и няма корени, по големи от 1.

[tex](x^{2 } - (а + 2)x - 3a - 3) \sqrt{(1 - a)x + a^{2 } - 7} = 0[/tex]

[tex]x^{2 } - (a+2)x - 3(a + 1) = 0 \cup \sqrt{(1 - a)x + a^{2 } - 7 } = 0[/tex]

A)
[tex]x^{2 } - (a + 2)x - 3(a + 1) = 0[/tex]

[tex]x_{1 } \le x_{2 } \le 1 \Leftrightarrow \begin{array}{|l} D \ge 0\\f( 1) \le 0 \\-\displaystyle \frac{b}{2a}<1 \end{array}[/tex]
[tex]D = (a + 2)^{2 } + 12(a + 1) \ge 0 \Leftrightarrow a^{2 } + 16a +16 \ge 0 , \sqrt{D} = 8 \sqrt{3}, a_{1,2 } = -8 \pm 4 \sqrt{3}[/tex]
[tex]a_{1 } = -8 - 4 \sqrt{3} \approx -1,07 , a_{2 } = - 8 + 4 \sqrt{3} \approx - 14,92[/tex]
$$D = ( a + 1,07)(a + 14,92) \ge 0$$
[tex]f(1) = 1^{2 } - (a + 2).1 - 3(a + 1)[/tex]
$$\Rightarrow f(1) = -4(a + 1) \le 0$$
[tex]- \frac{b}{2a} < 1 \Leftrightarrow \frac{a + 2}{2} < 1 \Leftrightarrow \frac{a + 2 - 2}{ 2} < 0[/tex]
$$\Rightarrow a<0$$
[tex]\begin{array}{|l} D \ge 0 \\ f(1) \le 0\\ -\displaystyle \frac{b}{2a}< 1 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} (a + 1,07)(a + 14,92) \ge 0\\ -4(a + 1) \le 0\\ a < 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} (a + 1,07)(a + 14,92) \ge 0\\ a + 1 \ge 0\\a <0\end{array}[/tex]
Чрез метода на интервалите се получава:
$$а \in [- 1;0)$$

B)
[tex]\sqrt{(a - 1)x + a^{2 } - 7 } = 0 \Leftrightarrow (a - 1)x + a^{2 } - 7 \ge 0 \Leftrightarrow (a - 1)x \ge 7 - a^{2 }[/tex]

Нека [tex]a - 1 = 0 \Rightarrow a = 1[/tex]
Тогава получавам :[tex]0.x \ge 7 - 1^{2 }[/tex] или [tex]0 \ge 6[/tex],което не е вярно [tex]\Rightarrow a - 1 \ne 0[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} a - 1 \ne 0 \\ (a - 1)x + a^{2 }- 7 \ge0 \end{array} \Rightarrow x = \frac{7 - a^{2 } }{a - 1} \ge 0[/tex]
По условие [tex]x \le 1 \Rightarrow 0 \le \frac{7 - a^{2 } }{a - 1} \le 1[/tex]
Разглеждам 2 случая : [tex]a - 1 >0[/tex] и [tex]a - 1< 0[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} a - 1>0 \\ \displaystyle\frac{7 - a^{2 } }{a - 1} \ge 0\\ \displaystyle\frac{7 - a^{2 } }{a - 1} \le1 \end{array}[/tex] [tex]\cup[/tex] [tex]\begin{array}{|l} a - 1< 0 \\ \displaystyle \frac{7 - a^{2 } }{a - 1} \ge 0\\\displaystyle \frac{7 - a^{2 } }{a - 1} \le 1\end{array}[/tex]
Първата система:

[tex]\begin{array}{|l} a-1>0\\ 7 - a^{2 } \ge 0\\- a^{2 } - a + 8 \le 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a > 1 \\(a + \sqrt{7} )(a - \sqrt{7}) \le 0\\ a^{2 } + a - 8 \ge 0 \end{array}[/tex]

[tex]a^{2 } + a - 8 \ge 0 , D = 33 , a_{1,2 } = \frac{-1 \pm \sqrt{33} }{2}[/tex]
[tex]a_{1 } = \frac{-1 + \sqrt{33} }{2} \approx 2,37 , a_{2 } = \frac{-1 - \sqrt{33} }{2} \approx - 3,37[/tex]
[tex]\Rightarrow a^{2 } + a - 8 = ( a + 3,37)(a - 2,37)[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} a> 1 \\ ( + \sqrt{7})(a - \sqrt{7}) \le 0\\( a + 3,37)(a - 2,37) \ge 0 \end{array}[/tex]
Чрез метода на интервалите се получава:
$$а \in [2,37, \sqrt{7}] \Leftrightarrow a \in [ \frac{-1 + \sqrt{33} }{2} ; \sqrt{7}] $$
Аналогично за втората система се получава:

[tex]a \in [-3,37 ;- \sqrt{7}] \Leftrightarrow a \in [ \frac{- 1 - \sqrt{33} }{2} ;- \sqrt{7} ][/tex]

Общо за цялото уравнение се получава,че стойностите за $a$ за които уравнението има поне един корен[tex]\le 1[/tex] и нито един корен $> 1$ са:
$$a \in [ \frac{-1 - \sqrt{33} }{2 }; - \sqrt{7}] \cup [- 1; 0) \cup [ \frac{- 1 + \sqrt{33} }{2} ; \sqrt{7}]$$

[Matty_23]

Много благодаря за подробното решение на задачата!