Уравнение с параметър

[Matty_23]

Здравейте, може ли помощ за следното уравнение:
2(x+a)^3+(x-3a)^3+(a-3x)^3=0

[peyo]

Здравейте, може ли помощ за следното уравнение:
2(x+a)^3+(x-3a)^3+(a-3x)^3=0

$2(x+a)^3+(x-3a)^3+(a-3x)^3=0$

Това изглежда като сложно уравнения, което вероятно се решава по някакъв много хитър начин със заместване, което ще опрости израза. Ние обаче ще го решим по един малко смешен начин.

Първо да забележим, че има странна симетрия между x и a в десните 2 израза. Да предположим, че $x=a$. Тогава:

$2(а+a)^3+(а-3a)^3+(a-3а)^3=0$

$2(2a)^3+(-2a)^3+(-2а)^3=0$

$2(2a)^3- 2(2a)^3=0$

Оказа се ,че $x=a$ е единия корен. Заради подозрителната симетрия между x и a , да пробваме какво ще стане с $x=-а$

$2(-a+a)^3+(-a-3a)^3+(a+3a)^3=0$

$-(4a)^3+(4a)^3=0$

Пак е решение. Значи имаме две реални решения:
$x=a$
$x=-а$

Сега това е уравнение от 3-та степен и като гледаме само големите степени на x след отваряне на скобите членовете $x^3$ няма да се опростят. Уравнение от 3-та степен, което има 2 реални решения задължително има и трето реално решение. Кое е то по този метод (академичното име на който е метод на математическото отгатване) няма да можем да намерим.

[Matty_23]

Много благодаря за помощта, изключително оригинално е, наистина не успявам с разкриване на скобите и повдигане на трета степен.

[Евва]

Третият корен също е х=а .

[KOPMOPAH]

Преработваме

$2(x+a)^3+(x-3a)^3+(a-3x)^3=$

$=2(x+a)^3+\big((x-3a)+(a-3x)\big)\big((x-3a)^2-(x-3a)(a-3x)+(a-3x)^2\big)=$

$=2(x+a)^3-2(x+a)(x^2-6ax+9a^2-(ax-3a^2-3x^2+9ax)+a^2-6ax+9x^2)=$

$=2(x+a)^3-2(x+a)(x^2-6ax+9a^2-ax+3a^2+3x^2-9ax+a^2-6ax+9x^2)=$

$=2(x+a)^3-2(x+a)(13x^2-22ax+13a^2)=$

$=2(x+a)(x^2+2ax+a^2-13x^2+22ax-13a^2)=2(x+a)(-12x^2+24ax-12a^2)=-24(x+a)(x-a)^2$

Отговор $x=\pm a$.

[Евва]

Ето още една идея .
2[tex](х+а)^{3 } +(x-3а)^{3 } + (а-3x)^{3 }[/tex] =0

2[tex]x^{3 } +6 x^{2 }а+6х а^{2 } +2а^{3 } + x^{3 } -9 x^{2 }а+27х а^{2 } -27а^{3 }+ а^{3 }-9 а^{2 }х+27аx^{2 } -27 x^{3 }[/tex] =0

-24[tex]x^{3 } +24а x^{2 }+24 а^{2 }х-24 а^{3 }[/tex]=0 |: ( -24)[tex]\ne[/tex]0

[tex]x^{3 } - x^{2 }a- a^{2 }х+ а^{3 }[/tex] =0

[tex]x^{2 }[/tex](х-а) -[tex]а^{2 }[/tex](х-а) =0

(х-а)(х-а)(х+а) =0

[tex]x_{1 }= x_{2 }[/tex]=а и [tex]x_{3 }[/tex]= -а

[Matty_23]

Много благодаря за подробното решение и за вариантите при решаването за задачата!

[S.B.]

Здравейте, може ли помощ за следното уравнение:
2(x+a)^3+(x-3a)^3+(a-3x)^3=0

Още един поглед върху задачата

Даденото уравнение преобразувам с помощта на формулите за съкратено умножение и получавам:

[tex]2 (x + a)^{3 } + (x - 3a)^{3 } + (a - 3x)^{3 } = 0 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]x^{2 } - a x^{2 } - a^{2 }x + a^{3 } = 0[/tex]
Коефициентите са :
[tex]A = 1 , B = -a , C = - a^{2 } , D = a^{3 }[/tex]

Чрез субституцията:
$$x = y - \frac{B}{3A} \Leftrightarrow x = y + \frac{a}{3}$$
преминавам към каноничния вид на даденото кубично уравнение:
$$y^{3 } + py + q = 0$$

[tex](y + \frac{a}{3} )^{3 } - a (y + \frac{a}{3}) ^{2 } - a^{2 }(y + \frac{a}{3} ) + a^{3 } = 0 \Leftrightarrow y^{3 } - \frac{4}{3} a^{2 } y + \frac{16}{27} a^{3 } = 0[/tex]

В случая [tex]p = - \frac{4}{3} a^{2 } , q = \frac{16}{27} a^{3 }[/tex]

Дискриминантата на каноничното уравнение е:

[tex]Q = \frac{ p^{3 } }{27} + \frac{ q^{2 } }{4} = - \frac{ 2^{6 } a^{6 } }{ 3^{6 } } + \frac{ 2^{6 } a^{6 } }{ 3^{6 } } = 0[/tex] което означава,че каноничното уравнение има единствен корен:

[tex]y = \sqrt[3]{- \frac{q}{2} + \sqrt{Q} } + \sqrt[3]{- \frac{q}{2} - \sqrt{Q} } = 2\sqrt[3]{- \frac{8 a^{3 } }{27} } = 2. \frac{-2a}{3}[/tex]
$$ \Rightarrow y= - \frac{4a}{3}$$

Връщам субституцията: [tex]x = y + \frac{a}{3} \Leftrightarrow x = - \frac{4a}{3} + \frac{a}{3}[/tex]
$$\Rightarrow x_{1 } = -a$$
[tex]\Rightarrow x^{3 } - a x^{2 } - a^{2 }x + a^{3 } = 0 \Leftrightarrow (a + x). \varphi (x)[/tex]
[tex]\varphi (x) = ( x^{3 } - a x^{2 } - a^{2 }x + a^{3 }) : (a + x) \Rightarrow \varphi(x) = (a - x)^{2 }[/tex]
Получихме,че :
[tex]x^{3 } - a x^{2 } - a^{2 }x + a^{3 } = 0 \Leftrightarrow (a + x) (a - x)^{2 }[/tex]
$$\Rightarrow x_{2 } = x_{3 } = a$$