параметрично уравнение

[Гост]

За кои цели стойности на параметъра k уравнението kx^2 - (1-2k)x + k - 2 = 0 има рационални корени?

[ammornil]

За кои цели стойности на параметъра k уравнението [tex]kx^2 - (1-2k)x + k - 2 = 0[/tex] има рационални корени?

За да има рационални корени, дискриминантата трябва да е точен квадрат.
[tex]D=(1-2k)^{2}-4\cdot k \cdot (k-2)=1-4k+4k^{2}-4k^{2}+8k=4k+1[/tex]
Вижда се, че за отрицателни стойности на [tex]k[/tex] дискриминантата е отрицателна.
Оказва се, че изразът за дискриминантата дава точен квадрат за [tex]k={0; 2; 6; 12; 20 ...},[/tex] общата форма на тези числа е $$ \begin{cases} k_{1}=0 \\ k_{2}=2 = 0 + 1 \cdot 2 \\ k_{3}=6 = 2 + 2\cdot 2 \\ k_{4}=12 = 6 + 3\cdot 2 \\ k_{5}=20 = 12 + 4\cdot 2 \\ ... \\ k_{n} = k_{n-1} + (n-1) \cdot 2, (n \in \mathbb{N}), k_{1}=0 \end{cases}$$

[pal702004]

Обикновено отговорите се дават в параметрична форма:

$4k+1=(2t+1)^2$

$k=t^2+t,\;\; t \in \mathbb{Z}$

Тоест, когато $k$ е произведение на две последователни цели числа.

Или, за да избегнем ситуацията при различни стойности на параметъра да получим едно и също $k$, може така $k=t^2-t,\;\; t \in \mathbb{N}$

Също така и корените могат да се изразат чрез $t$