Делимост - релация

[Гост]

Зациклих с решението на задачи то този тип: Да се намери броят на числата по-големи от 200 и по-малки от 700, които при деление на 8 дават остатък 3 и са кратни на 9. Може ли малко помощ?

[ammornil]

Зациклих с решението на задачи то този тип: Да се намери броят на числата по-големи от 200 и по-малки от 700, които при деление на 8 дават остатък 3 и са кратни на 9. Може ли малко помощ?

От мен едно бакалско решение

[tex]x \equiv 3 (mod 8), x \equiv 0 (mod 9), 200<x<700[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} x \equiv 3 (mod 8) \\ x \equiv 0 (mod 9) \end{array}[/tex]

[tex]x=8k+3=9n \rightarrow k=\frac{9n-3}{8}=n+\frac{n-3}{8} \rightarrow n-3=8t \rightarrow n=8t+3 \\ \rightarrow x=9n=72t+27 \text{ общ вид на решението}\\ \begin{matrix} t & x \\ 1 & 99 \\ 2 & 171 \\ 3 & \red{243} \\ 4 & \red{315}\\ 5 & \red{387}\\ 6 & \red{459}\\ 7 & \red{531}\\ 8 & \red{603}\\ 9 & \red{675}\\10 & 747\end{matrix}[/tex]

[Гост]

Да се намери броят на числата, по-големи или равни на 300 и по-малки или равни на 900, които при деление на 8 дават остатък 3, при деление на 6 дават остатък 1 и са кратни на 9.
За да я реша ми е нужно общо число на редиците (6×b+1) и (9×c), но такова не намирам...

[ammornil]

Да се намери броят на числата, по-големи или равни на 300 и по-малки или равни на 900, които при деление на 8 дават остатък 3, при деление на 6 дават остатък 1 и са кратни на 9.
За да я реша ми е нужно общо число на редиците (6×b+1) и (9×c), но такова не намирам...

Да опитаме с Диофантови равенства...
[tex]\begin{array}{|l} x=9\cdot{k} \\ x \equiv 3 (mod8) \\ x \equiv 1 (mod6) \end{array} \\ (p\in\mathbb{N}, q\in\mathbb{N}) \Rightarrow x=8p+3=6q+1 \Leftrightarrow 6q=8p+2 \Leftrightarrow q=\frac{6p}{6} + \frac{2p+2}{6}=p+\frac{p+1}{3} \Rightarrow \\ \Rightarrow (t\in\mathbb{N}) \rightarrow t=\frac{p+1}{3} \Leftrightarrow p=3t-1 \\ x=8p+3=8(3t-1)+3=24t-5\\ 24t-5=9k \Rightarrow k=2t+\frac{6t-5}{9} \\ (m\in\mathbb{N}) \rightarrow m=\frac{6t-5}{9} \Leftrightarrow 9m=6t-5 \Leftrightarrow t=m+\frac{3m+5}{6} \\ (n\in\mathbb{N}) \rightarrow n=\frac{3m+5}{6} \Leftrightarrow 6n=3m+5 \Leftrightarrow m=2n-\frac{5}{3} \notin \mathbb{N} \\[/tex]Виждаме, че няма целочислени решения за системата.

Проверка: да намерим числата от вида [tex]24t-5[/tex], които са в търсения интервал и се делят на 9 без остатък:[tex]\\[/tex]

Screenshot 2024-02-29 095106.png (15.54 KiB) Прегледано 1565 пъти

[tex]\\[/tex]Няма такива.