Уравнение

[strahil06]

Уравнението [tex]x^{3 }[/tex] + а[tex]x^{2 }[/tex]+ bx+4=0 има двукратен корен х=2. Стойността на a+b е равна на:

[ammornil]

Уравнението [tex]x^{3 }[/tex] + а[tex]x^{2 }[/tex]+ bx+4=0 има двукратен корен х=2. Стойността на a+b е равна на:

Един начин е да решим с решетка на Хорнер
[tex]\begin{array}{llllllll} x&+1&+a&+b&+4\\ 2&+1&2+a&2(2+a)+b&\boxed{4a+2b+12=0} \\ 2&+1&4+a&\boxed{4a+b+12}=0\end{array} \\ \begin{array}{|l} 4a+2b+12=0 \\ 4a+b+12=0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 4a+12=0 \\ b=0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a=-3 \\ b=0 \end{array} \Rightarrow[/tex]$$ a+b=-3 $$

Скрит текст: покажи

[tex]4(2+a)+2b+4=8+4a+2b+4=4a+2b+12 \\ 2(4+a)+2(2+a)+b=8+2a+4+2a+b=4a+b+12[/tex]

Друг начин е с деление на полиноми: щом 2 е двоен корен, то [tex](x-2)[/tex] дели дадения полином без остатък и дели частното отново без остатък.
[tex]\begin{array}{lllllll} &&&&&&\underline{x^{2}+(a+2)x+2a+b+4} \\ &x^{3}&+ax^{2}&+bx&+4&|&x-2\\-(&x^{3}&-2x^{2}&)\\ &&(a+2)x^{2}&+bx&+4\\-(&&(a+2)x^{2}&-2(a+2)x&)\\&&&(2a+b+4)x&+4\\ -(&&&(2a+b+4)x&-2(2a+b+4)&) \\ &&&&\boxed{4a+2b+12=0} \end{array}\\ \phantom{q} \\ \begin{array}{lllllll} &&&&&\underline{x+a+4} \\ &x^{2}&+(a+2)x&+2a+b+4&|&x-2\\ -(&x^{2}&-2x&) \\ &&(a+4)x&+2a+b+4 \\-(&&(a+4)x&-2a-8&) \\ &&&\boxed{4a+b+12=0} \end{array}\\[/tex]Логично, получихме същата система както в първото решение. Това е така, защото решетката на Хорнер е деление на полиномите, но в по-съкратен вид.[tex]\\ \begin{array}{|l} 4a+2b+12=0 \\ 4a+b+12=0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 4a+12=0 \\ b=0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a=-3 \\ b=0 \end{array} \Rightarrow[/tex]$$ a+b=-3 $$

[pal702004]

Трети начин:

[tex]\begin{array}{|l} f(2)=0 \\ f'(2)=0 \end{array}[/tex]

[grav]

Друг начин, е от Фиет третия корен е [tex]-1[/tex]. От там е лесно. Или пак с Фиет се намират [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] или полиномът е [tex](x+1)(x-2)(x-2)[/tex] и с умножаване се намират [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] (коетo разбира се е същото).

[peyo]

5-ти начин с Поли:

In [580]: var("x,a,b,c")
Out[580]: (x, a, b, c)

In [581]: p1 = poly (x**3 + a*x**2+ b*x+4, x)

In [582]: p2 = poly( (x-2)**2*(x-c), x)

In [583]: S = [ z[0] - z[1] for z in zip(p1.coeffs(),p2.coeffs())]

In [584]: S
Out[584]: [0, a + c + 4, b - 4*c - 4, 4*c + 4]

In [585]: solve(S)
Out[585]: {a: -3, b: 0, c: -1}

In [586]: solve(S)[a] + solve(S)[b]
Out[586]: -3