Уравнение

[nikola.topalov]

Да се реши уравнението: $$(3\sqrt{2}-1)x-4\sqrt{2}x^3=\sqrt{1-x^2}$$

[ammornil]

Да се реши уравнението: $$(3\sqrt{2}-1)x-4\sqrt{2}x^3=\sqrt{1-x^2}$$

Ето една идея от мен
[tex]\text{ДМ: } 1-x^{2}\ge{0} \Rightarrow x \in [-1;1][/tex]
[tex]\begin{array}{llll}\sqrt{1-x^2}\ge{0} \Rightarrow & (3\sqrt{2}-1)x-4\sqrt{2}x^3 \ge0 \Leftrightarrow x[(3\sqrt{2}-1)-4\sqrt{2}x^2]\ge{0} \\ & \Leftrightarrow 4\sqrt{2}(x-0)\left(x^{2}-\frac{6-\sqrt{2}}{8}\right)\le{0} \cap x \in [-1;1] \Rightarrow & \boxed{x\in \left[-1;-\sqrt{\frac{6-\sqrt{2}}{8}}\right]\cup\left[0;\sqrt{\frac{6-\sqrt{2}}{8}}\right]} \\ \phantom{q} \\ & (3\sqrt{2}-1)x-4\sqrt{2}x^3=\sqrt{1-x^2} \hspace{0.8em}|(\cdots)^{2} \\ &(18-6\sqrt{2}+1)x^{2}-8\sqrt{2}(3\sqrt{2}-1)x^{4}+32x^{6}-1+x^{2}=0 \\ & 32x^{6}-8(6-\sqrt{2})x^{4}+(20-6\sqrt{2})x^{2}-1=0 \\ y=x^{2} \ge 0 \Rightarrow & 32y^{3}-8(6-\sqrt{2})y^{2}+(20-6\sqrt{2})y-1=0\end{array}[/tex]
Кубичното уравнение може да се опитаме решим чрез Кардано, но по-малко болезнено ще е може би с итерации по Нютон-Рафсен... Python дава три решеия за y, които се транслират в три решения за x (при коренуването, някои от корените остават извън дефиниционната област).

[grav]

Полагаме

[tex]x=\sin(\theta)[/tex]

уравнението става

[tex]\sin(3\theta)=\sin\left(\theta+\frac{\pi}4\right)[/tex]

[Гост]

ne e li [tex]\pm \pi /4[/tex]?