Защо се получават различни отговори?

[Гост]

Тема: Тригонометрични уравнения, 12. клас
Правилно ли ще е, ако реша задачата като след 3[tex]sin^{2 }x cos^{2 }x[/tex]=0 реша съответно [tex]sin^{2 }x[/tex]=0 и [tex]cos^{2 }x[/tex]=0, защото така получавам отговори, различни от дадените в учебника (прикачена снимка)? Не разбирам защо е необходимо това допълване до sin⁡2x...

[pal702004]

Абсолютно не е необходимо това допълване. Достатъчно е $sin(x)=0$ или $cos(x)=0$. Но така също се получава $x=\dfrac{\pi}{2}\cdot k$ като се обединят решенията - то е очевидно в кои 4 точки от единичната окръжност синуса или косинуса е нула.

[pipi langstrump]

Както и да я решиш, ако е правилно, се получава един и същ отговор.

[Nifolwight]

Вярно, че когато се обединят е същото... благодаря за подсещането.

[pal702004]

Все пак учениците при възможност при триг. уравнения да се стараят да получават колкото се може по-малко варианти, особено ако не знаят как да обединят различните серии (ако е възможно, разбита се).

Тук имаме обединение на две серии:

$x=\pi \cdot k$

$x=\dfrac{\pi}{2}+\pi\cdot k$

или

$x=\dfrac{\pi}{2}(2k)$

$x=\dfrac{\pi}{2}(2k+1)$

Излиза, че решенията са: $\dfrac{\pi}{2}$, умножено на четно число, или $\dfrac{\pi}{2}$, умножено на нечетно число. Е? Те други цели не останаха. Значи, на кое да е цяло число.