Едно малко показателно уравние

[skidrow]

Здравейте! Попаднах на това уравнение и все не получавам отговора

[tex]6^{2x+1}[/tex] = [tex]8^x[/tex] . [tex]3^{x+2}[/tex] Отговор: x=1

[edrenchev]

[tex](2.3)^{2x}.6=2^{3x}.3^x.9 /. \frac{1}{2^{2x}.3^x}[/tex]
[tex]3^x.6=2^x.9[/tex]
[tex]\frac{3^x}{2^x}=\frac{9}{6}[/tex]
[tex]\frac{3^x}{2^x}=\frac{3}{2}[/tex]
[tex]x=1[/tex]

[skidrow]

Благодаря!!! Но ето, че терзанията продължават със следващото
[tex]\sqrt[x+1]{2^{3x}} - 2.9^{x} = 4.5^{2-x}[/tex]

[L.e.o]

[tex]\sqrt[x+1]{2^{3x}} - 2.9^{x} = 4.5^{2-x}[/tex]
[tex]2^{\frac{3x}{ x+1}} - 2.3^{2x} = \frac{100}{5^{x} }[/tex]
[tex](2^{2-\frac{3}{x+1 }} - 3^{2x}).5^{x} = 50[/tex]
Решението е някъде в интервала (-1.5;-1)

[stflyfisher]

Благодаря!!! Но ето, че терзанията продължават със следващото
[tex]\sqrt[x+1]{2^{3x}} - 2.9^{x} = 4.5^{2-x}[/tex]

Спомням си, че веднъж се разрази голям спор, но аз още съм на мнението и няма да споря в бъдеще.

Най-напред се определя ДС:

1.) [tex]x+1\ge 2[/tex]

2.) [tex]x+1 \in N[/tex](N-множеството на естествните числа)

3.) [tex]3x \in N[/tex]

[ganka simeonova]

stflyfisher , абсолютно си прав:)

[L.e.o]

Как определи ДС?

[ganka simeonova]

[tex]\sqrt[n]{a^m}[/tex] при [tex]m,n\in N;[/tex]

[stflyfisher]

Как определи ДС?

Отговор: с помощта на определението.(за справка учебник по МАТЕМАТИКА ЗА 10 КЛАС).

[allier]

Значи според този учебник, [tex]\sqrt[x]{x} = \frac{1}{4 }[/tex] няма реални корени ([tex]\frac{1}{2 }[/tex] му е корен) ?

[stflyfisher]

Значи според този учебник, [tex]\sqrt[x]{x} = \frac{1}{4 }[/tex] няма реални корени ([tex]\frac{1}{2 }[/tex] му е корен) ?

Уфффф, старата песен на нов глас.

Какво означава дадено число да е корен на уравнение?
Отг: Замествайки в уравнението с числото да се получава вярно числово равенство.

Ха, сега да проверим отговора даден по-горе:

[tex]\sqrt[\frac{1}{2}]{\frac{1}{2}} =[/tex]

оппаа, май се нарушава определението дадено по горе

И как да го сметнем? Какво би станало, ако се нарушават определенията в математиката?

[L.e.o]

[tex]\sqrt[\frac{1}{2}]{\frac{1}{2}} = = (\frac{1}{ 2})^{2}= \frac{1}{ 4}[/tex]

[allier]

Добре де, прав си. За ученик, използващ въпросния учебник, уравнението няма корени. За някой, който използва нормалната дефиниция на корен, има корен 1/2. Лошото е, че се получава тъпо противоречие. Ако на изпит напишеш, че 1/2 е корен, ще ти го признаят ли ...

[stflyfisher]

...нормалната дефиниция на корен...

И в "нормалната" дефиниция на корен, се разделя на две определения:

1. За корен n-ти с коренен показател четно естествено число

2. За корен n-ти с коренен показател нечетно естествено число

Както и да го гледам [tex]\frac{1}{2}[/tex] не е естествено число, пък за четно, нечетно естетсвено още по-малко.

...Ако на изпит напишеш, че 1/2 е корен, ще ти го признаят ли ...

Моето мнение е не би трябвало да признаят за вярно. т.е. грешен отговор

[allier]

Напротив, нормалната дефиниция на корен е за показател РЕАЛНО число Да не говорим, че се разширява и за комплексно по-нататък. Друг въпрос е какво е правилно да се учи в училище. Даже съм склонен да се съглася, че може на 10-токласници да се предложи дефиницията само с естествени числа. За рационални числа (или отрицателни цели) има проблем с четен корен от отрицателно число, така че това остава чак за университета.

[stflyfisher]

[tex]\sqrt[\frac{1}{2}]{\frac{1}{2}} = = (\frac{1}{ 2})^{2}= \frac{1}{ 4}[/tex]

[tex](\frac{1}{ 2})^{2}= \frac{1}{ 4}[/tex]- напълно вярно по всички математически определения и правила,

но това:

[tex]\sqrt[\frac{1}{2}]{\frac{1}{2}} = = (\frac{1}{ 2})^{2}[/tex] - по кои матеамтически определения и правила е вярно и най-вече без да се нарушават началните им условия за прилагането им?

[allier]

В крайна сметка, съгласявам се, че правилно са го написали в учебниците ... Но не се съгласявам, че на изпит не трябва да признават въпросния корен.

[stflyfisher]

Напротив, нормалната дефиниция на корен е за показател РЕАЛНО число Да не говорим, че се разширява и за комплексно по-нататък.

Доколкото разбирам, става дума за задача от училищен курс по математика.

Къде са тези "нормални" дефиниции за корен?

[allier]

Е това е проблемът, де. Аз се съгласих, че в училищния курс корен трябва да се дефинира с показател естествено число. Но ето, например, дават ти следните две уравнения:

[tex]\sqrt[x^2+x+\frac{1}{2 } ]{x+2} = \sqrt[3^2+3+\frac{1}{2 } ]{3+2}[/tex]

[tex]\frac{x^2+3}{0 } = \frac{3^2+3}{0 }[/tex]

На второто очевидно x=3 не е решение, защото деление на 0-ла няма, т.е. не е дефиниран изразът. Но на първото същата ли логика да се приложи (ако използваме дефиницията от учебника) или пък да покажеш корен x=3, който използва додефиниране на корен в положителни рационални числа и очевидно не нарушава основните закони на действията.

[allier]

Ето и още един пример. Дават ти следната задача на тест:

Да се намери сумата на всички корени на уравнението [tex]\sqrt[x]{x } = \sqrt[x]{x }[/tex] в интервала [-1,5].

Това изглежда смешно, но като се отчете дефиницията, има добре дефиниран отговор - 14.

[mkmarinov]

[tex]\sqrt[\frac{1}{2}]{\frac{1}{2}} = = (\frac{1}{ 2})^{2}[/tex] - по кои матеамтически определения и правила е вярно и най-вече без да се нарушават началните им условия за прилагането им?

[tex]\sqrt[x]{a}=a^{\frac{1}{x}}[/tex].
Кажи ми къде ще се получи противоречие, ако х е реално? В уикипедия?

[ganka simeonova]

[tex]\sqrt[\frac{1}{2}]{\frac{1}{2}} = = (\frac{1}{ 2})^{2}[/tex] - по кои матеамтически определения и правила е вярно и най-вече без да се нарушават началните им условия за прилагането им?

[tex]\sqrt[x]{a}=a^{\frac{1}{x}}[/tex].
Кажи ми къде ще се получи противоречие, ако х е реално? В уикипедия?

Не ме карай, да се смея!
Корен n-ти се дефинира за [tex]n\in N[/tex]

[mkmarinov]

Че то и [tex]a-b[/tex] се е дефинирало само за a>b, нали?
Пак, не чух за нито един аргумент, който да споменава за абсурдността на [tex]\sqrt[\frac{1}{2}]{x}[/tex] (противоречие), освен "ама не може".

[prodanov]

A пък в моя учебник ПП 10ти клас пише, че корен n-ти е дефиниран за [tex]n \ge 2[/tex].

Ами [tex]\sqrt[\pm1]{x^1}[/tex] на какво е равно? На [tex]x^{\frac{1}{\pm1}} = (x; \frac{1}{x})[/tex] според следващия урок в учебника.

[ganka simeonova]

Че то и [tex]a-b[/tex] се е дефинирало само за a>b, нали?

Една разлика си е разлика. Може да се извърши за всеки две числа.
[tex]\sqrt[n]{a}[/tex] има смисъл, при [tex]n\in N[/tex]