уравнение с параметър

[Гост]

Да се намерят стойностите на параметъра к, за които корените на уравнението (k-1)x²+2(k+3)x+k-4=0 са реални, с различни знаци и сборът им е по-голям от -10.

[ammornil]

Да се намерят стойностите на параметъра к, за които корените на уравнението (k-1)x²+2(k+3)x+k-4=0 са реални, с различни знаци и сборът им е по-голям от -10.

[tex]\\ (k-1)x^{2}+2(k+3)x+k+4=0, \\ k=? \because D>0 \cap \begin{array}{|l} x_{1}\cdot{x_{2}}<0 \quad \text{ корените имат различни знаци} \\ x_{1}+x_{2} > -10 \end{array} \\ \quad \\ (D) \quad D=(k+3)^{2}-(k+4)(k-1)>0 \\ k^{2}+6k+9-(k^{2}-k+4k-4)>0 \\ 6k+9-3k+4>0 \\ 3k>-13 \\ \boxed{(D) \quad k\in{} \left(-3\frac{\normalsize{1}}{\normalsize{4}}; +\infty \right) \quad} \\ \quad \\ \begin{array}{|l} x_{1}\cdot{x_{2}}=\frac{\normalsize{c}}{\normalsize{a}}<0 \\ x_{1}+x_{2}=-\frac{\normalsize{b}}{\normalsize{2a}} > -10\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} \frac{\normalsize{k+4}}{\normalsize{k-1}}<0 \\ -\frac{\normalsize{2(k+3)}}{\normalsize{2(k-1)}}<-10 \end{array} \\ (1) \quad \frac{k+4}{k-1}<0 \Rightarrow \begin{array}{|l} k+4>0 \\ k-1<0 \end{array} \cup \begin{array}{|l} k+4<0 \\ k-1>0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} k>-4 \\ k<1 \end{array} \cup \begin{array}{|l} k<-4 \\ k>1 \end{array} \Leftrightarrow k\in{}(-4;1) \cup \oslash \\ \quad \Rightarrow \boxed{(1) \quad k\in{}(-4;1) \quad}\\ (2) \quad \frac{k+3}{k-1}>10 \Leftrightarrow \frac{k+3}{k-1}-10>0 \Leftrightarrow \frac{k+3-10k+10}{k-1}<0 \Leftrightarrow \frac{-9k+13}{k-1}<0 \Rightarrow \\ \quad \Rightarrow \begin{array}{|l} -9k+13>0 \\ k-1<0 \end{array} \cup \begin{array}{|l} -9k+13<0 \\ k-1>0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} k<\frac{\normalsize{13}}{\normalsize{9}} \\ k<-1 \end{array} \cup \begin{array}{|l}k>\frac{\normalsize{13}}{\normalsize{9}} \\ k>-1 \end{array} \\ \quad \Rightarrow \boxed{(2) \quad k\in{}(-\infty;-1) \cup \left(1\frac{\normalsize{4}}{\normalsize{9}}; +\infty \right) \quad}[/tex]$$ (D)\cap(1)\cap(2) \Rightarrow \boxed{ k\in{} \left(-3\frac{\normalsize{1}}{\normalsize{4}}; -1 \right) \quad}$$

Проверете сметките.

[ammornil]

Благодарение на Евва, ето и решение на коректното уравнение

Да се намерят стойностите на параметъра к, за които корените на уравнението (k-1)x²+2(k+3)x+k-4=0 са реални, с различни знаци и сборът им е по-голям от -10.

[tex]\\ (k-1)x^{2}+2(k+3)x+k\red{-}4=0, \\ k=? \because D>0 \cap \begin{array}{|l} x_{1}\cdot{x_{2}}<0 \quad \text{ корените имат различни знаци} \\ x_{1}+x_{2} > -10 \end{array} \\ \quad \\ (D) \quad D=(k+3)^{2}-(k-4)(k-1)>0 \\ k^{2}+6k+9-(k^{2}-k-4k+4)>0 \\ 6k+9+5k-4>0 \\ 11k>-5 \\ \boxed{(D) \quad k\in{} \left(-\frac{\normalsize{5}}{\normalsize{11}}; +\infty \right) \quad} \\ \quad \\ \begin{array}{|l} x_{1}\cdot{x_{2}}=\frac{\normalsize{c}}{\normalsize{a}}<0 \\ x_{1}+x_{2}=-\frac{\normalsize{b}}{\normalsize{2a}} > -10\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} \frac{\normalsize{k-4}}{\normalsize{k-1}}<0 \\ -\frac{\normalsize{2(k+3)}}{\normalsize{2(k-1)}}>-10 \end{array} \\ (1) \quad \frac{k-4}{k-1}<0 \Rightarrow \begin{array}{|l} k-4>0 \\ k-1<0 \end{array} \cup \begin{array}{|l} k-4<0 \\ k-1>0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} k>4 \\ k<1 \end{array} \cup \begin{array}{|l} k<4 \\ k>1 \end{array} \Leftrightarrow k\in{} \oslash \cup (1;4) \\ \quad \Rightarrow \boxed{(1) \quad k\in{}(1;4) \quad}\\ (2) \quad \frac{k+3}{k-1}<10 \Leftrightarrow \frac{k+3}{k-1}-10<0 \Leftrightarrow \frac{k+3-10k+10}{k-1}<0 \Leftrightarrow \frac{-9k+13}{k-1}<0 \Rightarrow \\ \quad \Rightarrow \begin{array}{|l} -9k+13<0 \\ k-1>0 \end{array} \cup \begin{array}{|l} -9k+13>0 \\ k-1<0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} k>\frac{\normalsize{13}}{\normalsize{9}} \\ k>1 \end{array} \cup \begin{array}{|l}k<\frac{\normalsize{13}}{\normalsize{9}} \\ k<1 \end{array} \\ \quad \Rightarrow \boxed{(2) \quad k\in{}(-\infty;1) \cup \left(1\frac{\normalsize{4}}{\normalsize{9}}; +\infty \right) \quad}[/tex]$$ (D)\cap(1)\cap(2) \Rightarrow \boxed{ k\in{} \left(1\frac{\normalsize{4}}{\normalsize{9}}; 4 \right) \quad}$$

Проверете сметките.

[pal702004]

Само едно допълнение. Ако в квадратно уравнение произведението на корените е отрицателно, то корените са реални и проверката на дискриминантата е просто губене на време.

$x_1x_2<0 \Longrightarrow \frac c a<0 \Longrightarrow ac<0 \Longrightarrow b^2-4ac>0$