Обединяване на решения при решаване на триг. уравнения

[Гост]

Здравейте, някой може ли да обясни на разбираем (за дванайсетокласник) език кога и как (най-вече как) обединяваме решения от тригонометричните уравнения. В учебника не пише абсолютно нищо по този въпрос, в решените задачи се записват всички получени решения, но в задачите след урока, когато видя отзад отговорите са написани например само 2 отговора, а не 6-те, които би трябвало да се получат след решаването. Може ли някой да разясни на ето тези две уравнения как трябва да им обединим отговорите:

1. Стигнал съм до sin2x = [tex]\frac{ \sqrt{3} }{2}[/tex] и sin2x = - [tex]\frac{ \sqrt{3} }{2}[/tex] . Получавам четири отговора, различни от посочените + или - [tex]\frac{ \pi }{6}[/tex] + [tex]\frac{к \pi }{2}[/tex].

2. Стигнал съм до [tex]sinx^{4 }[/tex] = [tex]\frac{1}{4}[/tex]. Получавам четири отговора, различни от посочения [tex]\frac{ \pi }{4}[/tex] + [tex]\frac{к \pi }{2}[/tex]

[ammornil]

Дайте условие на задача. Възможно е дефиниционното множество да изключва някои от получените решения. Ако е указано, че [tex]x[/tex] лежи в определен квадрант, или в условието има знаменател, който не може да бъде нула, например, това може да е причина някои решения да се изключват.

Скрит текст: покажи

$\\[12pt] \sin{2x}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow 2x=\dfrac{\pi}{3}\pm{}2k\pi \cup 2x=\pi-\dfrac{\pi}{3}\pm{}2k\pi \Rightarrow x=\dfrac{\pi}{6}\pm{}k\pi \cup x=\dfrac{\pi}{3}\pm{}k\pi \\[12pt] \sin{x^{4}}=\frac{1}{4} \Rightarrow x^{4}=\arcsin{\frac{1}{4}}+2k\pi \cup x^{4}=\pi-\arcsin{\frac{1}{4}}+2k\pi \\ $ тук става малко сложно, защото четвъртата степен трябва да е винаги положителна, трябва да се види кога това е изпълнено и да се вземат четвъртите корени от всички допустими стойности.$\\[12pt] \sin^{4}(x)=\frac{1}{4} \Rightarrow \sin{x}=\pm{}\dfrac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x=\dfrac{\pi}{4}\pm{}2k\pi \cup x=\dfrac{3\pi}{4}\pm{}2k\pi \cup x=-\dfrac{\pi}{4}\pm{}2k\pi \cup x=-\dfrac{3\pi}{4}\pm{}2k\pi$

[pal702004]

ammornil, човека пита как да се обединят тези серии, да се спестят тези $\cup$. Да не говорим, че не се пише $\pm 2\pi k$, понеже $k \in \mathbb{Z}$, тоест, може да е отрицателно и няма нужда да се задава "минус".

Към автора на темата: Да започнем с второто уравнение $\sin^2(x)=\frac 1 2$. Решаваш го по по-тъпия начин с 4 серии: $\frac{\pi}{4},-\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4},-\frac{3\pi}{4} +2 \pi k$

Отбележи ги тези точки на единичната окръжност и погледни с каква стъпка се променят: $-\frac{3\pi}{4},-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}$. Очевидно стъпката е $\frac{\pi}{2}$ и се обединяват в $\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}k$

По-добрият начин е с намаляване на степента за сметка на аргимента. $\sin^2(x)=\dfrac{1-\cos(2x)}{2}$

Откъдето $\cos(2x)=0$

С решения $2x=\frac{\pi}{2}+\pi k$ или $x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}$

Опитай се да решиш първото по този начин. То е $\sin^2(2x)=\frac 3 4$. Трябва да стигнеш до аргумент $4x$

[Гост]

Благодаря Ви. Успях да реша и първото. Мисля, че успях да разбера "метода".

[Гост]

Ammornil, условието на задачата е да се реши уравнението, не са упоменати интервали или допустими стойности. За съжаление, не успях да разбера Вашия подход на решение. Не мисля, че в училище сме споменавали за arcsin (възможно е още да не сме го взели).

[pal702004]

Не сте го взели, просто ammornil решаваше задачата така, като сте я написали. Записът $\sin x^4$ , както сте написали, съответства на $\sin(x^4)$. А синуса на кой ъгъл е равен на $\frac 1 4$?
Не е от познатите, затова се използва обратната функция.
Във вашият случай правилния запис е $\sin^4 x$ или $(\sin x)^4$

[ammornil]

Два отговора обикновено не се получават от обедиенението на шест, затова реших че някои от получените отговори се изключват от допълнителни ограничения.

[Гост]

Извинявам се, ammornil, от бързане вместо синус на четвърта от х съм написал синус от х на четвърта и затова са се появили непознати функции

Възникна още един въпрос. Решавах уравнението cosx + cos3x + cos5x =0. Получих cos3x=0 или cos2x=-[tex]\frac{1}{2}[/tex] и от двете уравнения получавам общо три решения. Представям ги на единичната окръжност и успявам да ги обединя по следния начин х= [tex]\frac{ \pi }{6}[/tex] + [tex]\frac{к \pi }{3}[/tex] ; х= [tex]\frac{ \pi }{6}[/tex] + [tex]\frac{к \pi }{2}[/tex] ; х= [tex]\frac{ \pi }{3}[/tex] + [tex]\frac{к \pi }{2}[/tex]. Първият въпрос е има ли смисъл обединението в този случай, защото пак се получават три отгоовра, които покриват всички решения и всъщност, кога се налага да се обединяват отговорите? Вторият въпрос е, ако бяхме записали последният х като [tex]\frac{ \pi }{3}[/tex] + к[tex]\pi[/tex] вярно ли щеше да бъде? Но всъщност така два от отговорите ще съвпаднат с първоначално получените от уравнението.

[pal702004]

Вижте, не винаги отговорите могат да се обединят (биха могли с определени условности). И не бива да се намаля оценка, ако може, но не е направено. Има елементарна теория на числата. По принцип имаме "основно" решение, което се уможава на цяло число от определен вид. В конкретната задача получаваме 3 серии:

$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k} {3}$

$x=\pm \frac{\pi}{3}+ \pi k$

изнасяме "общия множител" $\frac{\pi}{6}$ пред скоби, получаваме:

$\frac{\pi}{6}(2k+1)$

$\frac{\pi}{6}(6k\pm 2)$

В първия случай "основното" се умножава на всяко нечетно число, Във втория - на всяко число, даващо остатък 2 или 4 при делене на 6.

Като ги обединим получаваме $6k+1,6k+2,6k+3,6k+4,6k+5$

Или, всяко число, което не се дели на шест.

Така че бихме могли да запишем общото решение: $x=\frac{\pi}{6}k,\;\; k \in \mathbb{Z}, 6\not | k$

($\frac{\pi}{6}$, умножено на всяко цяло число, което не се дели на шест, може да се запише и $k \not \equiv 0 \pmod 6$). Но не е наложително.