параметрично уравнение

[Гост]

2. Намерете за кои стойности на параметъра а има 2 реални различни корена уравнението:

x^4-(4-a)x³ + (4 + a)x² - (4-a)x + 1 = 0.

[pal702004]

$x^4-(4-a)x^3+(4+a)x^2-(4-a)x+1=0 \quad (*1)$

Полинома е със симетрични коефициенти, $x=0$ не е решение, така че можем да разделим на $x^2$ и да преминем към нова променлива $t=x+\frac 1 x$

$\left(x+\frac 1 x\right)^2-2-(4-a)\left(x+ \frac 1 x\right)+4+a=0$, или

$t^2-(4-a)t+2+a=0\quad (*2)$

За реални $x,\;\;x +\frac 1 x \in (-\infty;-2] \cup [2;+\infty)$

Така че за да има $(*1)$ точно 2 реални различни корена, е необходимо и достатъчно точно един от корените на $(*2)$ да е в интервала $(-2;2)$

Т.е, ако $f(t)=t^2-(4-a)t+2+a$ е необходимо и достатъчно $f(-2)\cdot f(2)<0$

$(14-a)(3a-2)<0$

$a \in \left(-\infty;\frac 2 3\right) \cup \left(14;+\infty\right)$