Уравнение с цели числа

[ToZero]

Намерете всички възможни стойности на целите числа $x\neq 1, y \neq 0, z \neq 0$, така че $ \frac{x+1}{x-1} + \frac{y-1}{y} = \frac{z^2+1}{z} $.

[pal702004]

$x-1=t \ne 0$

$1+\frac 2 t+1-\frac 1 y=z+\frac 1 z$

Вариант1: $z>0$

$\max\left(\frac 2 t-\frac 1 y\right)=3$ при $t=1,y=-1\Longrightarrow z<5$

1.1) $z=1$

$\frac 2 t=\frac 1 y \Longrightarrow t=2y,\;\; y \ne 0$ (безброй много решения).

1.2) $z=2$

$\frac 2 t-\frac 1 y=\frac 1 2$

$4y-2t=ty \Longrightarrow (y+2)(t-4)=-8$

Седем решения при $y+2 \in \{\pm 1, -2,\pm 4 \pm 8\}$ (изключваме решението $t=0,y=0$)

1.3) $z=3$

$\frac 2 t -\frac 1 y=\frac 4 3$

$4ty+3t-6y=0$

$(4y+3)(2t-3)=-9$

Две решения при $4y+3 \in \{-1,-9\}$

1.4) $z=4$
Аналогично получаваме едно решение $t=1,y=-4$

Вариант2: $z<0$

$z+\frac 1 z \le -2 \Longrightarrow \frac 2 t - \frac 1 y \le -4$

$\min\left(\frac 2 t - \frac 1 y\right)=-3$ - в този вариант няма решения.

[ammornil]

Намерете всички възможни стойности на целите числа $x\neq 1, y \neq 0, z \neq 0$, така че $ \frac{x+1}{x-1} + \frac{y-1}{y} = \frac{z^2+1}{z} $.

$\\[12pt] 1-\dfrac{1}{y}=\dfrac{z^{2}+1}{z}-1 -\dfrac{2}{x-1} \\[6pt] \dfrac{1}{y}=\dfrac{2}{x-1}-\dfrac{z^{2}-2z+1}{z} \\[6pt] \dfrac{1}{y}= \dfrac{2z-(x-1)(z-1)^{2}}{z(x-1)} \\[6pt] y= \dfrac{z(x-1)}{2z-(x-1)(z-1)^{2}} \\[12pt]$. Не виждам да има краен брой решения. Python намери няколко за интервала (-100, 100). $ \\[12pt] \begin{array}{|rrr|r|rrr|r|rrr|r|rrr|} x&y&z&&x&y&z&&x&y&z&&x&y&z \\ &&&& -99&-50&1 && -97&-49&1 && -95&-48&1 && \\[6pt]-93&-47&1 && -91&-46&1 && -89&-45&1 && -87&-44&1 && \\[6pt] -85&-43&1 && -83&-42&1 && -81&-41&1 && -79&-40&1 && \\[6pt] -77&-39&1 && -75&-38&1 && -73&-37&1 && -71&-36&1 && \\[6pt] -69&-35&1 && -67&-34&1 && -65&-33&1 && -63&-32&1 && \\[6pt] -61&-31&1 && -59&-30&1 && -57&-29&1 && -55&-28&1 && \\[6pt] -53&-27&1 && -51&-26&1 && -49&-25&1 && -47&-24&1 && \\[6pt] -45&-23&1 && -43&-22&1 && -41&-21&1 && -39&-20&1 && \\[6pt] -37&-19&1 && -35&-18&1 && -33&-17&1 && -31&-16&1 && \\[6pt] -29&-15&1 && -27&-14&1 && -25&-13&1 && -23&-12&1 && \\[6pt] -21&-11&1 && -19&-10&1 && -17&-9&1 && -15&-8&1 && \\[6pt] -13&-7&1 && -11&-6&1 && -9&-5&1 && -7&-4&1 && \\[6pt] -5&-3&1 && -3&-2&1 && -3&-1&2 && -1&-1&1 && \\[6pt] 2&-4&4 && 3&1&1 && 3&2&2 && 3&-3&3 && \\[6pt] 4&6&2 && 5&2&1 && 6&-10&2 && 7&3&1 && \\[6pt] 7&-6&2 && 7&-1&3 && 9&4&1 && 9&-4&2 && \\[6pt] 11&5&1 && 13&6&1 && 13&-3&2 && 15&7&1 && \\[6pt] 17&8&1 && 19&9&1 && 21&10&1 && 23&11&1 && \\[6pt] 25&12&1 && 27&13&1 && 29&14&1 && 31&15&1 && \\[6pt] 33&16&1 && 35&17&1 && 37&18&1 && 39&19&1 && \\[6pt] 41&20&1 && 43&21&1 && 45&22&1 && 47&23&1 && \\[6pt] 49&24&1 && 51&25&1 && 53&26&1 && 55&27&1 && \\[6pt] 57&28&1 && 59&29&1 && 61&30&1 && 63&31&1 && \\[6pt] 65&32&1 && 67&33&1 && 69&34&1 && 71&35&1 && \\[6pt] 73&36&1 && 75&37&1 && 77&38&1 && 79&39&1 && \\[6pt] 81&40&1 && 83&41&1 && 85&42&1 && 87&43&1 && \\[6pt] 89&44&1 && 91&45&1 && 93&46&1 && 95&47&1 && \\[6pt] 97&48&1 && 99&49&1 \end{array}$

[pal702004]

Не виждам да има краен брой решения.

И че всички "безкрайни" са $z=1,x=2y+1$? Написал съм го по-горе. При $z=1$ има безкраен брой решения $x=2y+1, y \ne 0$.
При $z=2$ - седем решения $(x,y)=(-3,-1);(3,2);(4,6);(6,-10);(7,-6);(9,-4);(13,-3)$
при $z=3$ - две решения $(3,-3);(7,-1)$
при $z=4$ - едно решение $(2,-4)$

Няма други решения.

[ammornil]

Няма други решения.

Коментарът ми не е по Вашето решение. Когато почнах да пиша отговора си, Вашият го нямаше на сайта. Отне ми известно време да направя симулацията и да генерриам LATEX за табличката. Видях отговора Ви едва след като натиснах Изпрати. Вашето решение е по-добро, аз реших първоначално че се търси краен брой решения, затова написах на колегата който пита, че не мисля че има такъв.