Решете уравненията:

[Гост]

Моля за помощ за решаване на следните 3 уравнения:

1) [tex]4 x^{4 } + 12 x^{3 } - 47 x^{2 } + 12x + 4 =0[/tex] (Отговор: [tex]x_{1,2 } = - \frac{11 \pm \sqrt{105} }{2} , x_{3 } = \frac{1}{2} , x_{4 } = 2[/tex])

2) [tex]\frac{2x}{ x^{2 } + 3x -1 } + \frac{3x}{ x^{2 } - 5x -1 } = \frac{1}{15}[/tex] (Отговор : [tex]x_{1,2 } = \pm 1 , x_{3,4} = \frac{47 \pm \sqrt{2213} }{2}[/tex])


3) [tex](x + 2)^{4 } + (x + 4)^{4 } = 82[/tex] (Отговор [tex]x_{1 } = -5 , x_{2 } = -1[/tex])

Предварително благодаря!

[math10.com]

Има стандартни и много елегантни методи за решаване на уравнения.
1-вото се нарича симетрично уравнение (1-вия коефициент е равен на последния и 2-рия е равен на предпоследния.Метода за решаване е като разделим уравнението на [tex]x^2[/tex]
[tex]4x^2+12x^3-47x^2+12x+4=0 (:x^2)[/tex]
[tex]4x^2+12x-47+\frac{12}{x}+\frac{4}{x^2}=0[/tex] сега полагаме [tex]x+\frac{1}{x}=t \Rightarrow (x+\frac{1}{x})^2=t^2 \Rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2[/tex]
[tex]\Rightarrow 4(t^2-2)+12t-47=0 \Rightarrow 4t^2+12t-55=0[/tex]
Сега решавайки квадратното уравнение намираме [tex]t_1=\frac{5}{2} ; t_2=-\frac{11}{2}[/tex]
И се връщаме в полагането [tex]t_1=\frac{5}{2}=x+\frac{1}{x} \Rightarrow 2x^2-5x+2=0 \Rightarrow x_1=2 ; x_2=\frac{1}{2}[/tex]
[tex]t_2=-\frac{11}{2}=x+\frac{1}{x} \Rightarrow 2x^2+11x+2=0 \Rightarrow x_3=\frac{-11+\sqrt{105}}{4} ; x_4=\frac{-11-\sqrt{105}}{4}[/tex]

3-та задача също е интересна.
[tex](x+2)^4+(x+4)^4=82[/tex]
[tex](x+2)^4+(x+4)^4- 2(x+2)^2(x+4)^2=82- 2(x+2)^2(x+4)^2[/tex]
[tex]((x+4)^2-(x+2)^2)^2=82- 2(x+2)^2(x+4)^2[/tex]
[tex](x^2+8x+16-x^2-4x-4)^2=82- 2(x+2)^2(x+4)^2[/tex]
[tex](4x+12)^2=82- 2(x+2)^2(x+4)^2[/tex] Сега полагаме [tex]x+3=t[/tex]
[tex]16t^2=82-2(t-1)^2(t+1)^2[/tex]
[tex]\Rightarrow 16t^2-82+2(t^2-1)^2=0[/tex] делим на 2 и разкриваме скобите
[tex]t^4+6t^2-40=0[/tex], което е биквадратно уравнение и се решава със стандартно полагане [tex]t^2=y \ge 0[/tex]
[tex]\Rightarrow y^2+6y-40-0 \Rightarrow y_1=4 ; y_2=-10 \notin DM[/tex] Сега се връщаме последователно в полаганията
[tex]t^2=4 \Rightarrow t_1=2 \Rightarrow x_1=-1 ; t_2=-2 \Rightarrow x_2=-5[/tex]

За 2-а привеждаме под общ знаменател и разкриваме скобите:
[tex]\frac{2x}{x^2+3x-1}+\frac{3x}{x^2-5x-1}=\frac{1}{15}[/tex]

[tex]\Rightarrow (x^2+3x-1)(x^2-5x-1)-30x(x^2-5x-1)-45x(x^2+3x-1)=0[/tex]

[tex]\Rightarrow x^4-2x^3-17x^2+2x+1-75x^3+15x^2+75x=0[/tex]

[tex]x^4-77x^3-2x^2+77x+1=0 \Rightarrow (x^4-2x^2+1)+77x(x^2-1)=0[/tex]

[tex]\Rightarrow (x^2-1)^2-77x(x^2-1)=0 \Rightarrow (x^2-1)(x^2-77x-1)=0\Rightarrow (x+1) (x-1)(x^2-77x-1)=0[/tex]

Нататък остава само квадратно уравнение:

[tex]x_1=1 ; x_2=-1 ; x_3=\frac{77+\sqrt{5933}}{2}; x_4=\frac{77-\sqrt{5933}}{2}[/tex]


Ето и още един начин доста по-кратък, но с досещане:

[tex]\frac{2x}{x^2+3x-1}+\frac{3x}{x^2-5x-1}=\frac{1}{15}[/tex]

[tex]\frac{2\cancel{x}}{\cancel{x}(x+3-\frac{1}{x})}+\frac{3\cancel{x}}{\cancel{x}(x-5-\frac{1}{x})}=\frac{1}{15}[/tex] Сега полагаме [tex]x-\frac{1}{x}=t[/tex]

[tex]\frac{2}{t+3}+\frac{3}{t-5}=\frac{1}{15}[/tex]

[tex]\Rightarrow 30(t-5)+45(t+3)=(t+3)(t-5)[/tex]

[tex]\Rightarrow t^2-77t=0 \Rightarrow t(t-77)=0 \Rightarrow t_1=0 ; t_2=77[/tex] Връщаме се в полагането

[tex]x-\frac{1}{x}=0 \Rightarrow x_1=1 ; x_2=-1[/tex] [tex]\Rightarrow x-\frac{1}{x}=77 \Rightarrow x_3=\frac{77+\sqrt{5933}}{2}; x_4=\frac{77-\sqrt{5933}}{2}[/tex]