Намерете целочислените решения

[ammornil]

Намерете целочислените решения на уравнението: $$ (x^{2} -y^{2})^{2} =1 +16y $$

Скрит текст: покажи

Национална математическа олимпиада на Руската федерация 1997-1998г.

[pal702004]

$y \ge 0$, също така $x,y$ са с различна четност. Търсим решения $x \ge 0$, естествено, $-x$ също ще е решение.

1. $x>y$
$x^2-y^2 \ge 2y+1 \Longrightarrow 1+16y \ge (2y+1)^2$

$\Longrightarrow 4y \ge y^2+y, \; y \in [0;3]$

2. $y>x$
$y^2-x^2 \ge 2y-1$. Аналогично $y \in [0;5]$

Решения има в граничните случаи $(0,3,5)$ в останалите $1+16y$ не е квадрат.

$(x,y)=(\pm 1,0);(\pm 4,3);( \pm 4,5)$