magi_066 написа:Да се реши уравнението [tex]\sqrt{1-x^{2}}[/tex] = [tex]4[/tex][tex]x^{3}[/tex][tex]-3x[/tex].
ДС [tex]x \in \left[-1\: ;1\right][/tex], откъдето можем да положим x=cosa, a[tex]\in [0 \; ;\pi][/tex]
Понеже за тези стойности на а функцията косинус от х приема стойности от -1 до 1. С това получаваме:
[tex]\sqrt{1-\cos^2\alp }=4\cos^3\alp -3\cos \alp[/tex]
Това е еквивалентно на
[tex]|\sin \alp|=\cos3\alp[/tex]
Сега за допустимите стойности за алфа(от 0 до п), синус от алфа е винаги неотрицателен. Тогава разкриваме модула със знак + и получаваме:
[tex]\sin\alp =\cos 3\alp[/tex]
[tex]\sin\alp -\sin(\frac{\pi}{2}-3\alp )=0[/tex]
[tex]2\sin(\frac{\alp-\frac{\pi}{2}+3\alp}{2})\cos(\frac{\alp +\frac{\pi}{2}-3\alp}{2})=0[/tex]
[tex]\sin(2\alp -\frac{\pi}{4})=0\cup \cos(-2\alp +\frac{\pi}{4})=\cos(2\alp -\frac{\pi}{4})=0[/tex]
[tex]2\alp -\frac{\pi}{4}=k\pi \cup 2\alp -\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k\pi[/tex]
Оттук получаваме [tex]2\alp -\frac{\pi}{4}=k\frac{\pi}{2}[/tex]
[tex]\alp=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{4}[/tex], където к е цяло число.
Оттук понеже алфа трябва да е между 0 и п, то решенията са к=0,1,2,3.
С това задачата е решена - [tex]x=\cos(\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{4})[/tex], където к е 0, 1, 2 или 3
Меню
