Забавно у-е

[ganka simeonova]

Току що си измислих едно уравнение:) Само не ме линчувайте, защото е кубично:)
Да се реши , но без Кардано!

[tex]x^3-\sqrt{3} x^2+4-2\sqrt{3} =0[/tex]

[allier]

Полагаме [tex]sqrt3-1=y[/tex]. Уравнението става:

[tex]y^2-yx^2+x^3-x^2=0[/tex]. Дискриминанта: [tex]x^4-4x^3+4x^2=x^2(x-2)^2[/tex]. Нататък е ясно вече.

Хитра задачка.

[ganka simeonova]

Полагаме [tex]sqrt3-1=y[/tex]. Уравнението става:

[tex]y^2-yx^2+x^3-x^2=0[/tex]. Дискриминанта: [tex]x^4-4x^3+4x^2=x^2(x-2)^2[/tex]. Нататък е ясно вече.

Хитра задачка.

Точно така, Бързако

[baroveca]

Чрез метода на неопределените коефициенти, откривам много гадни корени. Такива ли са?

[ganka simeonova]

Чрез метода на неопределените коефициенти, откривам много гадни корени. Такива ли са?

Я, разпиши метода си:)

[baroveca]

Нека предположим,че уравнението може да се разложи във вида [tex](1)(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)[/tex] След разкриване на скобите получаваме [tex]x^4+(a+c)x^3+(b+d+ac)x^2+(bc+ad)x+bd[/tex]
Правим система.
[tex]\begin{tabular}{|l}a+c=1\\b+d+ac=-\sqrt{3} \\bd=4-2\sqrt{3} \end{tabular}[/tex]
От първото уравнение изразяваме a=1-c. Нека b=2,a [tex]d=2-\sqrt{3[/tex] Тогава заместваме във второто уравнение
[tex]2+2-\sqrt{3} +c(1-c)=-\sqrt{3}[/tex]
[tex]4+c-c^2=0[/tex]
[tex]c^2-c-4=0[/tex]

[tex]c_{1,2=\frac{1\pm\sqrt{17} }{2 }[/tex]
Нека [tex]c=\frac{1+\sqrt{17} }{2 }=>a=\frac{2}{2 }-\frac{1-\sqrt{17} }{2 } =\frac{1-\sqrt{17} }{2 }[/tex]
Връщаме се към (1) и получаваме [tex](x^2+\frac{1-\sqrt{17} }{2 } +2)(x^2+\frac{1+\sqrt{17} }{2 } +2-\sqrt{3} )=0[/tex]
Оттук получавам много гадни корени. Така ли е?

[ganka simeonova]

Нека предположим,че уравнението може да се разложи във вида [tex](1)(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)[/tex] След разкриване на скобите получаваме [tex]x^4+(a+c)x^3+(b+d+ac)x^2+(bc+ad)x+bd[/tex]
Правим система.
[tex]\begin{tabular}{|l}a+c=1\\b+d+ac=-\sqrt{3} \\bd=4-2\sqrt{3} \end{tabular}[/tex]
От първото уравнение изразяваме a=1-c. Нека b=2,a [tex]d=2-\sqrt{3[/tex] Тогава заместваме във второто уравнение
[tex]2+2-\sqrt{3} +c(1-c)=-\sqrt{3}[/tex]
[tex]4+c-c^2=0[/tex]
[tex]c^2-c-4=0[/tex]

[tex]c_{1,2=\frac{1\pm\sqrt{17} }{2 }[/tex]
Нека [tex]c=\frac{1+\sqrt{17} }{2 }=>a=\frac{2}{2 }-\frac{1-\sqrt{17} }{2 } =\frac{1-\sqrt{17} }{2 }[/tex]
Връщаме се към (1) и получаваме [tex](x^2+\frac{1-\sqrt{17} }{2 } +2)(x^2+\frac{1+\sqrt{17} }{2 } +2-\sqrt{3} )=0[/tex]
Оттук получавам много гадни корени. Така ли е?

А защо пишеш " Нека b=2?

[allier]

Другият въпрос е защо твоето уравнение е от 4-та степен, а не от 3-та?

[baroveca]

Ами нали може да правим предположения. След това може b да е 1 и от там d променя стойността си и така...

[Mark]

Предположенията, който правим трябва да са логически правилни.Твоето ураение дори няма реални корени...

[baroveca]

Предположенията, който правим трябва да са логически правилни.Твоето ураение дори няма реални корени...

Би ли показал кака ще стане?

[ganka simeonova]

Предположенията, който правим трябва да са логически правилни.Твоето ураение дори няма реални корени...

Би ли показал кака ще стане?

Няма какво да се показва. allier я реши.

[strangerforever]

Полагаме [tex]sqrt3-1=y[/tex]. Уравнението става:

[tex]y^2-yx^2+x^3-x^2=0[/tex]. Дискриминанта: [tex]x^4-4x^3+4x^2=x^2(x-2)^2[/tex]. Нататък е ясно вече.

Хитра задачка.

Може ли да обясниш как се сети да положиш това, просто защото ми е интересно, аз не бих се сетил. Т.е. като видя уравнението, кое ти подсказа, че трябва точно това да положиш?

[stflyfisher]

Полагаме [tex]sqrt3-1=y[/tex]. Уравнението става:

[tex]y^2-yx^2+x^3-x^2=0[/tex]. Дискриминанта: [tex]x^4-4x^3+4x^2=x^2(x-2)^2[/tex]. Нататък е ясно вече.

Хитра задачка.

Може ли да обясниш как се сети да положиш това, просто защото ми е интересно, аз не бих се сетил. Т.е. като видя уравнението, кое ти подсказа, че трябва точно това да положиш?

Ще цитирам един мой преподавател: "Умен съм бил, сетил съм се"

[allier]

За да се реши без Кардано, трябва да се положи нещо и съответно уравнението да се разложи. След това първо си помислих да положа само корен от 3, но се чудих как това [tex]4-2\sqrt{3}[/tex] ще се получи. И в крайна сметка се сетих, че [tex]4-2\sqrt{3}[/tex] е квадратът на [tex]\sqrt{3} -1[/tex].

[stflyfisher]

За да се реши без Кардано, трябва да се положи нещо и съответно уравнението да се разложи. След това първо си помислих да положа само корен от 3, но се чудих как това [tex]4-2\sqrt{3}[/tex] ще се получи. И в крайна сметка се сетих, че [tex]4-2\sqrt{3}[/tex] е квадратът на [tex]\sqrt{3} -1[/tex].

Което потвържадава по-горния цитат