Ирационално уравнение

[ganka simeonova]

[tex]\sqrt{1-x^2} (1-4x^2)+x(3-4x^2)=\sqrt{2}[/tex]

[martin.nikolov]

След малко медитиране се вижда, че трябва да се положи [tex]x=\cos(\alpha)[/tex] и да се изпозват формулите за синус и косинус от три пъти алфа.

[Martin Nikovski]

Е.. изпревариха ме, но и на мен ми се стори логично...
Като видя [tex]3[/tex] и [tex]4[/tex], веднага ми идва на ум [tex]sin3\alpha[/tex] и [tex]cos 3\alpha[/tex]
[tex]\sqrt{1-x^2}\left(1-4x^2\right)+x\left(3-4x^2\right)=\sqrt2[/tex]
[tex]\sqrt{1-x^2}\left(1-4x^2\right)+3x-4x^3=\sqrt 2[/tex]
Полагаме [tex]x=sin \alpha ,\ x\in [-1;1][/tex]
[tex]\sqrt{1-sin^2\alpha}\left(1-4sin^2\alpha \right)+3sin\alpha -4sin^3\alpha =\sqrt 2[/tex]
[tex]\sqrt{cos^2\alpha}\left(1-4sin^2\alpha \right)+sin3\alpha =\sqrt 2[/tex]
[tex]cos\alpha \left(-3+4-4sin^2\alpha \right)+sin3\alpha =\sqrt 2[/tex]
[tex]cos\alpha \left(-3+4\left(1-sin^2\alpha \right)\right)+sin3\alpha =\sqrt2[/tex]
[tex]coa\alpha \left(-3+4cos^2\alpha \right)+sin3\alpha =\sqrt2[/tex]
[tex]4cos^3\alpha -3cos\alpha +sin3\alpha =\sqrt 2[/tex]
[tex]sin3\alpha +cos3\alpha =\sqrt 2[/tex] [tex]/:\sqrt 2[/tex]
Тук ще съкратя малко, но нямам време...
[...]
След като намерим решенията за [tex]x[/tex], заместваме в първоначалното уравнение (или определяме ДМ)...
[tex]x=\frac{\sqrt6-\sqrt 2}{4 }[/tex] остава като решение на задачата...

[ganka simeonova]

Така е, но Мартине внимавай:
[tex]\sqrt{cos^2\alpha } =|cos\alpha|[/tex]

[Martin Nikovski]

Да, разбира се... вчера го обяснявах на един съученик..

[strangerforever]

Уравнението може ли да бъде решено без да са учени синус на утроен/удовен ъгъл и т.н., т.е. с материал от началото на 10ти клас? И ако може, как?

[ganka simeonova]

Уравнението може ли да бъде решено без да са учени синус на утроен/удовен ъгъл и т.н., т.е. с материал от началото на 10ти клас? И ако може, как?

Това е интересен въпрос. Интуитивно си мисля, че може, но не съм сигурна. Лично аз трябва да помисля.

[martin.nikolov]

Прехвърляш, подвигаш на квадрат и преобразуваш. Уравнението става

[tex]1 - 6\sqrt{2}x + 18x^2 + 8\sqrt{2}x^3 - 48x^4 + 32x^6=0[/tex]

След малко труд го разлагаш

[tex]1 - 6\sqrt{2} x + 18x^2 + 8\sqrt{2}x^3 - 48x^4 + 32x^6=32(-\frac14 + \frac{x}{\sqrt{2}} + x^2)^2(x - \frac{1}{\sqrt{2}})^2[/tex]

От тук намираш корените и преверяваш, кои са корени на първоначалното уравнение.

[strangerforever]

Благодаря ти, може да ми е глупав/елементарен въпросът, но може ли да обясниш само за разлагането как го направи, защото от 6-та степен нямам представа как да го разложа.

[martin.nikolov]

Общо взето е трудно, в случая можах защото знаех корените. Но за какво ти е след като тригонометричното полагане решава задачата много по-лесно.

[strangerforever]

Общо взето е трудно, в случая можах защото знаех корените. Но за какво ти е след като тригонометричното полагане решава задачата много по-лесно.

Ами защото съм в началото на 10ти клас и не съм го учил и ми беше интересно дали със сегашните си знания ще успея да я реша, понеже в момента сме точно на ирационални уравнения/неравенства.

[martin.nikolov]

Общо взето е трудно, в случая можах защото знаех корените. Но за какво ти е след като тригонометричното полагане решава задачата много по-лесно.

Ами защото съм в началото на 10ти клас и не съм го учил и ми беше интересно дали със сегашните си знания ще успея да я реша, понеже в момента сме точно на ирационални уравнения/неравенства.

Ще можеш ако успееш да го разложиш, ако не успееш няма да можеш. Предполагам, че задачата е предназначена за тези които знаят достатъчно тригонометрия.