Параметрично уравнение, единия корен е по-малък от -2 и >-1

[BADBIMR]

За кой стойности на реалния параметър а един от корените на уравнението [tex]ax^4 - (a-3)x^2 + 3a = 0[/tex] е по-малък от -2, а останалите три са >-1 ?

[ptj]

Първо за да съществуват 4 корена е необходимо [tex]a\ne 0[/tex].

[tex]f(y)=ay^2-(a-3)y+3a[/tex]

Oчевидно ако [tex]y_1\le y_2[/tex] са корени на [tex]f(y)=0[/tex] ,

то [tex]-\sqrt{y_1}[/tex],[tex]\sqrt{y_1}[/tex],[tex]-\sqrt{y_2}[/tex],[tex]\sqrt{y_2}[/tex] са корени на [tex]ax^4-(a-3)x^2+3a=0[/tex] .

Условието единия от тях да по-малък от -2, а другите 3 да са по-големи от -1 е еквивалентно на
[tex]y_2>4[/tex] и [tex]0<y_1<1[/tex].

Получава се система:

[tex]\begin{cases}
a.f(4)>0\\
a.f(1)<0\\
a.f(0)>0
\end{cases}[/tex]<=>[tex]\begin{cases}
a.(16a-4(a-3)+3a>0\\
a.(a-(a-3)+3a<0\\
a.3a>0
\end{cases}[/tex] <=>[tex]\begin{cases}
a.(5a+4)>0\\
a.(a+1)<0
\end{cases}[/tex] <=> [tex]-1<a<-\frac{4}{5 }[/tex]

[BADBIMR]

може ли само да ми обясните защо af(4)>0, не трябва ли да е аf(4)<0

[ptj]

може ли само да ми обясните защо af(4)>0, не трябва ли да е аf(4)<0

Да, прав(a) си. Правилно е [tex]af(4)<0[/tex] (4 е между двата корена). Tогава отговора ще е:

[tex](a\in [-\infty;-1])[/tex] [tex]\cup(a\in [-\frac{4}{5 };0])[/tex]

[BADBIMR]

благодаря адски много. Иде ми да се обезглавя...системата ми беше същата само дето пред всяка f(t) съм забравил да сложа а ==> af(t) и ми се получаваше празно множество>мерси отново