параметрично уравнение, a=? да има 3 различни корена

[BADBIMR]

За кои стойности на реалния параметър а уравнението [tex]f(x)= (a-1)(x^4 + x^2 - 2)^2 + (a+1)(x^4+ x^2) + a^2 + 1 = 0[/tex]
има точно 3 различни корена?
благодаря предварително за помощта

[b1ck0]

[tex]\left( a-1 \right) \left( {x}^{4}+{x}^{2}-2 \right) ^{2}+ \left( a+1 \right) \left( {x}^{4}+{x}^{2} \right) +{a}^{2}+1=0[/tex]
към уравнението прибавяме и изваждаме: [tex]2a+2[/tex]

[tex]\left( a-1 \right) \left( {x}^{4}+{x}^{2}-2 \right) ^{2}+ \left( a+1 \right) \left( {x}^{4}+{x}^{2} \right) +{a}^{2}+1 + 2a +2=2a+2[/tex]
[tex]\left( a-1 \right) \left( {x}^{4}+{x}^{2}-2 \right) ^{2}+ \left( a+1 \right) \left( {x}^{4}+{x}^{2}-2 \right)+{a}^{2}+3+2\,a=0[/tex]

Полагаме: [tex]\left( {x}^{4}+{x}^{2}-2 \right) = t[/tex], като [tex]t \ge -2[/tex] и получаваме:

[tex]\left( a-1 \right) {t}^{2}+ \left( a+1 \right) t+{a}^{2}+3+2\,a=0[/tex]

[tex]D = -3\,{a}^{2}-2\,a+13-4\,{a}^{3}[/tex]

и проверяваме и проверяваме ...

п.с: все още не мога да разложа дискриминантата в удобен вид ...

[martin.nikolov]

След като имаме само четни степени на неизвестното, ако х е корен то и -х е корен. За да има 3, нечетен брой, корена е необходимо х=0 да е корен. От което следва [tex]a^2+4a-3=0[/tex]. Тогава уравнението може да се запише така

[tex](a-1)(x^4+x^2)^2+4(a-1)+(a+1)(x^4+x^2)+a^2+1=0[/tex]

от където

[tex](a-1)(x^4+x^2)^2+(a+1)(x^4+x^2)=0[/tex]

Следователно

[tex](a-1)(x^4+x^2)+(a+1)=0[/tex]

трябва да има точно два корена. От което се намира, че [tex]a\in(-1,1)[/tex]. И от най-горното уравнение следва [tex]a=-2+\sqrt{7}[/tex].