Две ирационални уравнения

[strangerforever]

1. Да се реши уравнението:
[tex]\frac{ \sqrt[7]{x \sqrt{2}} } {2} - \frac{\sqrt[7]{x - \sqrt{2}}}{x^2}[/tex] =[tex]\frac{x}{2}\sqrt[7]{\frac{x^3}{x + \sqrt{2}}}[/tex]

Отг.: [tex]x_1 = -1, x_2=1.[/tex]

2. Да се реши уравнението [tex]\sqrt[3]{p+x} + \sqrt{12-x} = 6[/tex], ако p е произведението на целите стойности на b, за които уравнението [tex]\frac {4b} {y+1} = 3b - 5[/tex] има само отрицателни решения.

Отг.: [tex]x_1 = 3, x_2 = -24, x3 = -88.[/tex]

[martin123456]

2
гледаме 2рото уравнение
[tex]y \ne -1[/tex] и очевидно [tex]b \ne 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 4b=y(3b-5)+3b-5 \Leftrightarrow y(3b-5)=b+5[/tex]
за да има решения [tex]b \ne \frac{5}{3}[/tex] тогава решението е [tex]y=\frac{b+5}{3b-5}[/tex]. искаме то да е отрицателно [tex]\Leftrightarrow b \in (-5, \frac{5}{3})[/tex].
сега към задачата
целите числа в този интервал са [tex]-4,-3,-2,-1,0[/tex]. [tex]p=4!=24[/tex]
уравнението става [tex]\sqrt[3]{x+24}+\sqrt{12-x}=6[/tex]. Имаме [tex]x \le 12[/tex].
полагаме [tex]\sqrt[3]{x+24}=a[/tex] и [tex]\sqrt{12-x}=b[/tex]
[tex]\Rightarrow x+24=a^3[/tex] и [tex]12-x=b^2[/tex]
като ги съберем [tex]a^3+b^2=36[/tex], а от самото у-ние [tex]a+b=6[/tex]
повдигаме 2рото на квадрат [tex]a^2+b^2+2ab=36[/tex] вадим с 1вото [tex]a^2+2ab=a^3[/tex]. ако [tex]a =0\Rightarrow x=-24[/tex]. проверка показва че е решение.
ако не, [tex]a+2b=a^2 \Leftrightarrow (a+b)+a=a^2 \Leftrightarrow a^2-a-6=0[/tex]. нататак е лесно

[martin123456]

1. Да се реши уравнението:
[tex]\frac{ \sqrt[7]{x \sqrt{2}} } {2} - \frac{\sqrt[7]{x - \sqrt{2}}}{x^2}[/tex] =[tex]\frac{x}{2}\sqrt[7]{\frac{x^3}{x + \sqrt{2}}}[/tex]
Отг.: [tex]x_1 = -1, x_2=1.[/tex]

не е вярна, понеже като заместих с 1 не ми се получи

[strangerforever]

1. Да се реши уравнението:
[tex]\frac{ \sqrt[7]{x \sqrt{2}} } {2} - \frac{\sqrt[7]{x - \sqrt{2}}}{x^2}[/tex] =[tex]\frac{x}{2}\sqrt[7]{\frac{x^3}{x + \sqrt{2}}}[/tex]
Отг.: [tex]x_1 = -1, x_2=1.[/tex]

не е вярна, понеже като заместих с 1 не ми се получи

Така е, объркана е в сборника, в първия корен е минус, а не умножение. И благодаря за решението на първата.

[martin123456]

умножаваме уравнението по [tex]\sqrt[7]{x+\sqrt{2}}[/tex]
става
[tex]\frac{\sqrt[7]{x^2-2}}{2}-\frac{\sqrt[7]{x^2-2}}{x^2}=\frac{\sqrt[7]{x^{10}}}{2}[/tex]
[tex]\sqrt[7]{x^2-2}(x^2-2)=\sqrt[7]{x^{24}}[/tex]
[tex]\sqrt[7]{(x^2-2)^8}=\sqrt[7]{x^{24}}[/tex]
[tex]x^2-2=\pm x^3[/tex]
и тн

[strangerforever]

умножаваме уравнението по [tex]\sqrt[7]{x+\sqrt{2}}[/tex]
става
[tex]\frac{\sqrt[7]{x^2-2}}{2}-\frac{\sqrt[7]{x^2-2}}{x^2}=\frac{\sqrt[7]{x^{10}}}{2}[/tex]
[tex]\sqrt[7]{x^2-2}(x^2-2)=\sqrt[7]{x^{24}}[/tex]
[tex]\sqrt[7]{(x^2-2)^8}=\sqrt[7]{x^{24}}[/tex]
[tex]x^2-2=\pm x^3[/tex]
и тн

Благодаря за решението. Бтв, уравнение от 3та степен с 10токласни знания, с Хорнер ли да го реша? Защото за друг вариант не се сещам. Единствено мога да кажа, че 1 и -1 са корени заради коефициентите, но как ще докажа, че те са единствените решения?

[martin123456]

1) [tex]x^2-2=x^3[/tex]
[tex]x^3-x^2+2=0 \Leftrightarrow x^2(x+1)-2(x^2-1)=0\Leftrightarrow (x+1)(x^2-2x+2)=0[/tex]
2) [tex]x^2-2=-x^3[/tex]
[tex]x^3+x^2-2=0 \Leftrightarrow x^2(x-1)+2(x^2-1)=0\Leftrightarrow (x-1)(x^2+2x+2)=0[/tex]
може и с хорнер