Реални корени със знания от 8 клас

[ganka simeonova]

Пускам тази задача с молбата, да се решава само от 8-класници.

Да се докаже, че ако корените на у-то (1)

[tex]x^2+2x+k=0[/tex] са реални и различни, то у-то (2)

[tex](1+k)(x^2+2x+k)-2(k-1)(x^2+1)=0[/tex]
няма реални корени и обратно, ако (2) няма реални корени, то (1) има реални и различни.

[amsara]

Опит за решение, първо в едната посока.
[tex]x^2+2x+k=0[/tex] има реални и различни по стойност корени
=>[tex]D>0[/tex]
[tex]4-4k>0[/tex]
[tex]-4k>-4[/tex]
[tex]k<1[/tex]
[tex](1+k)(x^2+2x+k)-2(k-1)(x^2+1)=0[/tex]
Трябва да докажем, че при горния интервал за к, второто уравнение няма реални корени
[tex](1+k)(x^2+2x+k)-2(kx^2+k -x^2-1)=0[/tex]
[tex](3-k)x^2+(2k+2)x+k^2-k+2=0[/tex]
[tex]D=(2k+2)^2-4(3-k)(k^2-k+2)[/tex]
[tex]D=4k^2+8k+4-4(3k^2-3k+6-k^3+k^2-2k)[/tex]
[tex]D=4k^3-12k^2+28k-20[/tex]
[tex]D=4(k^3-3k^2+7k-5)=4(k-1)(k^2-2k+5)[/tex]
При получения за параметъра интервал имаме [tex]4(k-1)<0[/tex] и
[tex]k^2-2k+5>0[/tex]
защото [tex](k-1)^2+4[/tex] е винаги положително число
Имаме на практика в дискриминантата да умножим положително с отрицателно число
=>[tex]D<0[/tex]
Второто уравнение няма реални корени .
Остава и да е вярно.
Отивам да се пробвам с обратния случай.

[ganka simeonova]

Браво, Сари
За 2) случай, тръгни в обратен ред. Ако на (2) D>0=>к>1=> D на (1) <0

[amsara]

Ми то май второто е елементарно, като е пресметнато първото.
[tex]D>0[/tex] За второто уравнение
=>[tex]4(k-1)(k^2-2k+5)>0[/tex]
за квадратния тричлен вече уточнихме, че винаги е положително число
=>[tex]4(k-1)>0[/tex]
[tex]4k>4[/tex]
[tex]k>1[/tex] тогава второто има реални корени
Връщаме се на дискриминантата на първото
[tex]D=4-4k[/tex]
[tex]4-4k<0[/tex] При този интервал за параметъра
=> първото у-е няма реални корени

[ganka simeonova]

[amsara]

Ето и още една интересна задача за осмокласниците от квадратни уравнения, подобна на дадената от госпожата.
Поне на мен ми беше интересна.
Докажете, че уравнението
[tex](a^2+b^2+c^2)x^2+2(a+b+c)x+3=0[/tex] няма реални корени в случая, когато трите параметъра не са равни помежду си.