Виет

[prodanov]

[tex]1) \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} = ?[/tex] За [tex]ax^2 + bx + c = 0[/tex]

Решението ми:

[tex]let \vspace{} u = x_1 + x_2; v = x_1x_2; A = \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}[/tex]
[tex]A^2 = x_1 + x_2 + 2\sqrt{x_1x_2} = u + 2\sqrt v[/tex]
[tex]A = \pm \sqrt A = \pm \sqrt{u + 2\sqrt v}[/tex]

Отговора е без [tex]\pm[/tex], само плюс. Защо?

[tex]2) |x_1 - x_2|[/tex]
Tва го намирам като [tex]x_1 - x_2[/tex], т.е [tex]\pm \sqrt{u^2 - 4v}[/tex], но заради модула минуса отпада. Въпрос: Заради това ли не са писали минуса тук?

[tex]3) |\frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_2}| > 1[/tex]
За кои стойности на параметъра [tex]a[/tex] на [tex]ax^2 + x + a - 1 = 0[/tex] има два различни реални корена, такива че тва горе да е изпълнено.

[tex]|\frac{x_2 - x_1}{x_1x_2}| = |\pm \frac{\sqrt{u^2 - 4v}}{v}| = \frac{\sqrt{u^2 - 4v}}{v}[/tex]

[tex]u = -\frac{1}{a}[/tex]
[tex]v = \frac{a-1}{a}[/tex]

[tex]\frac{\sqrt{\frac{1}{a^2} - 4\frac{a-1}{a}}}{\frac{a-1}{a}} > 1[/tex]

[tex]D: \begin{tabular}{|l} a \ne 0\\a - 1 \ne 0\\ 1 - 4a^2 + 4a \ge 0 \end{tabular}[/tex] <=> [tex]\begin{tabular}{|l} a \ne 0\\a \ne 1\\ a \in [1 - 2\sqrt2, 1 + 2\sqrt2] \end{tabular}[/tex] => [tex]D: a \in [1 - 2\sqrt2, 0) \cup (0, 1) \cup (1, 1 + 2\sqrt2][/tex]

[tex]\frac{\sqrt{1 - 4a^2 + 4a}}{\cancel a} . \frac{\cancel a}{a-1} > 1[/tex]

[tex]\frac{\sqrt{-(2a - 1 - \sqrt2)(2a - 1 + \sqrt2)}}{a-1} > 1[/tex]

[tex]\sqrt{-(2a - 1 - \sqrt2)(2a - 1 + \sqrt2)} > a-1[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|l} a \in [1 - 2\sqrt2, 1 + 2\sqrt2] \\ a - 1 < 0 \end{tabular} \vspace{} \cup \vspace{} \begin{tabular}{|l} a-1 \ge 0 \\ -(2a-1-\sqrt2)(2a-1+\sqrt2)> (a-1)^2 \end{tabular}[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|l} a \in [1 - 2\sqrt2, 1 + 2\sqrt2] \\ a < 1 \end{tabular} \vspace{} \cup \vspace{} \begin{tabular}{|l} a \ge 1 \\ a(5a - 6) < 0 \end{tabular}[/tex]

[tex]a \in [1 - 2\sqrt2, 1)[/tex]
С ДМ:
[tex]a \in [1 - 2\sqrt2, 0) \cup (0, 1)[/tex]


Сега според усповието тряя следното условие да е изпълнено:
[tex]\begin{tabular}{|l} a \ne 0 \\ 1 - 4a^2 + 4a > 0 \end{tabular}[/tex]

По няква ирония тва го има горе. Само знака е различен.

=> [tex]a \in (1 - 2\sqrt2, 0) \cup (0, 1)[/tex]

Ама отговора е далееч от тука.
Къде греша?

[ganka simeonova]

1) Защото след като си положил [tex]A=\sqrt{x_1} +\sqrt{x_2} =>A\ge 0[/tex]

[ganka simeonova]

Значи, като ти гледам постоа, плескаш яко знаци

[prodanov]

Квадратното уравнение под корена мисля че има цели корени, ама цял ден го гледам и не си намирам грешка.

[prodanov]

Втори дубъл:

[tex]3) |\frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_2}| > 1[/tex]
За кои стойности на параметъра [tex]a[/tex] на [tex]ax^2 + x + a - 1 = 0[/tex] има два различни реални корена, такива че тва горе да е изпълнено.

[tex]u = x_1 + x_2 = -\frac{1}{a}; v = x_1x_2 = \frac{a-1}{a}[/tex]

[tex]\frac{|x_2 - x_1|}{|x_1x_2|} > 1[/tex]

[tex]\frac{|\pm \sqrt{u^2 - 4v}|}{|v|} > 1[/tex]

[tex]\sqrt{u^2 - 4v} > |v|[/tex]

[tex]\sqrt{\frac{1}{a^2} - 4.\frac{a-1}{a}} > |\frac{a-1}{a}|[/tex]

[tex]\frac{\sqrt{-4a^2 + 4a + 1}}{a} > |\frac{a-1}{a}| \uparrow[/tex]

[tex]D: \begin{tabular}{|l} a \ne 0 \\ a \ne 1 \\ 4a^2 - 4a - 1 \le 0 \end{tabular}[/tex] <=> [tex]D: \begin{tabular}{|l} a \ne 0 \\ a \ne 1 \\ a \in [\frac{1 - \sqrt2}{2}, \frac{1 + \sqrt2}{2}] \end{tabular}[/tex] <=> [tex]D: a \in [\frac{1 - \sqrt2}{2}, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \frac{1+\sqrt2}{2}][/tex]

[tex]-4a^2 + 4a + 1 > a^2 - 2a + 1[/tex]
[tex]5a^2 - 6a < 0[/tex]
[tex]a(5a-6) < 0[/tex]

Директно с D:
[tex]a \in (0, 1) \cup (1, \frac{6}{5})[/tex]


И сегаа кота нула...
[tex]ax^2 + x + a - 1 = 0[/tex]
Условието е изпълнени при [tex]D > 0[/tex]

[tex]D = -(4a^2 - 4a - 1) = (1 - \sqrt2 - 2a)[2a - (1 + \sqrt2)][/tex]

[tex]\begin{tabular}{|l}(1 - \sqrt2 - 2a)[2a - (1 + \sqrt2)] > 0 \\ a \in (0, 1) \cup (1, \frac{6}{5}) \end{tabular}[/tex]


Което го има горе и е същото, странно що.
=> [tex]a \in (0, 1) \cup (1, \frac{6}{5})[/tex]

Ама стана, тоя пък го получих!
Това повторение хич не ми изглежда на добре. Пак ли правя шменти-капели, т.е има ли по-пряк начин за решение?

[mupo123]

Намерете стойностите на параметарът а ,за които корените на уравнението [tex]x^{2 }+2x+a-1=0[/tex]са по-малки от 2. ?

[strangerforever]

Намерете стойностите на параметарът а ,за които корените на уравнението x^{2 }+2x+a-1=0 са по-малки от 2. ?

За да са по-малки корените от 2 е нужно:

[tex]| D \ge 0[/tex]
[tex]| af(2) > 0[/tex]
[tex]| -\frac{b}{2a} < 2[/tex]

[tex]D = 4 - 4a + 4 = 8 - 4a[/tex]
[tex]a.f(2) = 4 + 4 + a - 1 = 7 + a[/tex]
[tex]-\frac{b}{2a} = -1[/tex]

[tex]| 8 - 4a \ge 0 -> a \le 2[/tex]
[tex]| 7 + a > 0 -> a > -7[/tex]
[tex]| -1 < 2 -> const[/tex]

Отг.: [tex]a \in (-7;2][/tex]

[mupo123]

Намерете стойностите на параметарът а ,за които корените на уравнението x^{2 }+2x+a-1=0 са по-малки от 2. ?

За да са по-малки корените от 2 е нужно:

[tex]| D \ge 0[/tex]
[tex]| af(2) > 0[/tex]
[tex]| -\frac{b}{2a} < 2[/tex]

[tex]D = 4 - 4a + 4 = 8 - 4a[/tex]
[tex]a.f(2) = 4 + 4 + a - 1 = 7 + a[/tex]
[tex]-\frac{b}{2a} = -1[/tex]

[tex]| 8 - 4a \ge 0 -> a \le 2[/tex]
[tex]| 7 + a > 0 -> a > -7[/tex]
[tex]| -1 < 2 -> const[/tex]

Отг.: [tex]a \in (-7;2][/tex]

Благодаря