Ирационални уравнения

[magi_066]

[tex]\sqrt[3]{x-16}[/tex][tex]=[/tex][tex]\sqrt[3]{x+3}-1[/tex]
[tex]\sqrt[3]{2x-4}[/tex][tex]+[/tex][tex]\sqrt[3]{13-2x[/tex][tex]=3[/tex]
[tex]\sqrt[3]{54+\sqrt{x} }[/tex][tex]+[/tex][tex]\sqrt[3]{54-\sqrt{x} }[/tex][tex]=\sqrt[3]{18}[/tex]
Каквото и да правя нищо не се получава.МЕРСИ предварително

[martin123456]

1
[tex]\sqrt[3]{x-16}=u[/tex]
[tex]\sqrt[3]{x+3=v}[/tex]
[tex]u=v-1[/tex], т.е. [tex]v-u=1[/tex]

[tex]x-16=u^3[/tex]
[tex]x+3=v^3[/tex]
вадим ги [tex]19=v^3-u^3[/tex]<=>[tex]19=(v-u)(v^2+uv+u^2)=(v-u)^2+3uv=1+3uv[/tex]=>[tex]uv=6[/tex]
значи [tex]v-u=1[/tex] и [tex]uv=6[/tex]
ще довърша
[tex]v, -u[/tex] са корени на квадратно уравнение [tex]t^2-t-6=0[/tex]. [tex]D=25[/tex], [tex]t_1=3[/tex],[tex]t_2=-2[/tex]
1) [tex]v=3, u=2[/tex]
[tex]x=16+8=24[/tex]
2)[tex]v=-2, u=-3[/tex]
[tex]x=-27+16=-11[/tex]

[martosss]

Примерно първата задача

[tex]\sqrt[3]{x-16}[/tex][tex]=[/tex][tex]\sqrt[3]{x+3}-1[/tex]

Полагаме единият корен на u, другият на v, след което получаваме
u=v-1 => u-v=-1
u?-v?=(x-16)-(x+3)=-16-3=-19
Имаш две уравнения с две неизвестни, откъдето лесно намираш и самите неизвестни.
За първата задача конкретно използваш, че u?-v?=(u-v)(u?+uv+v?)=(u-v)((u-v)?+3uv)=(-1)[(-1)?+3uv]=-19
Оттук 1+3uv=19 => uv=6
Ето, че намерихме
u-v=-1
uv=6, откъдето вече заместваме едно от неизвестните от първото уравнение във второто и решаваме. След като намерим на колко са равни u и v, просто се връщаме в полагането и намираме на колко е равен х.
В случая имаме u=v-1 =>
v?-v-6=0
(v-3)(v+2)=0
v=3 или v=-2
значи u=2 или u=-3.
Връщаме се в полагането и имаме
[tex]\begin{tabular}{|l}\sqrt[3]{x-16}=2\\\sqrt[3]{x+3}=3\end{tabular}\cup \begin{tabular}{|l}\sqrt[3]{x-16}=-2\\\sqrt[3]{x+3}=-3\end{tabular}[/tex]
От първата система намираме
x=8+16=24
x=27-3=24, двете са равни, значи това е нашето решение
От втората система намираме
х=-8+16=8
х=-27-3=-30 - не е решение, значи решение остава само предишното.
Така окончателно получаваме като решение само [tex]\fbox{x=24}[/tex]

[magi_066]

1
[tex]\sqrt[3]{x-16}=u[/tex]
[tex]\sqrt[3]{x+3=v}[/tex]
[tex]u=v-1[/tex], т.е. [tex]v-u=1[/tex]

[tex]x-16=u^3[/tex]
[tex]x+3=v^3[/tex]
вадим ги [tex]19=v^3-u^3[/tex]<=>[tex]19=(v-u)(v^2+uv+u^2)=(v-u)^2+3uv=1+3uv[/tex]=>[tex]uv=6[/tex]
значи [tex]v-u=1[/tex] и [tex]uv=6[/tex]
ще довърша
[tex]v, -u[/tex] са корени на квадратно уравнение [tex]t^2-t-6=0[/tex]. [tex]D=25[/tex], [tex]t_1=3[/tex],[tex]t_2=-2[/tex]
1) [tex]v=3, u=2[/tex]
[tex]x=16+8=24[/tex]
2)[tex]v=-2, u=-3[/tex]
[tex]x=-27+16=-11[/tex]

Да,но [tex]\sqrt{A}=>A>0 ili A=0[/tex]

[martin123456]

не
[tex]\sqrt[3]{x}[/tex] е деф за всяко x

[magi_066]

не
[tex]\sqrt[3]{x}[/tex] е деф за всяко x

Верно.