Ирационално уравнение

[*moon_flower*]

[tex]\sqrt{x+2\sqrt{x-1} } - \sqrt{x-2\sqrt{x-1} } =2[/tex]

Като реша това уравнение ми се получава 2, а от говора в сборника е [2;[tex]+\infty[/tex]). Има още една задача на която отговорът е множество и не мога да си обясня как се получава така.

[allier]

Това е хитро примерче.
[tex]x+2\sqrt{x-1} =(1+\sqrt{x-1})^2[/tex]
[tex]x-2\sqrt{x-1} =(1-\sqrt{x-1})^2[/tex].
Сега просто разкрий модулите.

[*moon_flower*]

Благодаря, allier, аз по друг се опитвах да го реша.

Сега се получава:
[tex]|1+\sqrt{x-1}| - |1-\sqrt{x-1}| =2[/tex]

1 сл. ++ ; х=2
2 сл. +- ; Вс. х - решение
3 сл. -- ; н.р.

Сега как да запиша отговора? Знам, че звучи глупаво ..

[strangerforever]

Благодаря, allier, аз по друг се опитвах да го реша.

Сега се получава:
[tex]|1+\sqrt{x-1}| - |1-\sqrt{x-1}| =2[/tex]

1 сл. ++ ; х=2
2 сл. +- ; Вс. х - решение
3 сл. -- ; н.р.

Сега как да запиша отговора? Знам, че звучи глупаво ..

[tex]DM: x \ge 1[/tex]

Първият модул е винаги положителен.
За втория разглеждаме 2 случая:

[tex]1.[/tex]
[tex]1 \ge \sqrt{x-1}[/tex]
[tex]1 \ge x-1[/tex]
[tex]x \le 2[/tex]

[tex]1 + \sqrt{x-1} - (1-\sqrt{x-1}) = 2[/tex]
[tex]\sqrt{x-1} = 1[/tex]
[tex]x - 1 = 1[/tex]
[tex]x = 2[/tex] -> корен

[tex]2.[/tex]
[tex]1 < \sqrt{x-1}[/tex]
[tex]x < 2[/tex]

[tex]1 + \sqrt{x-1} - (\sqrt{x-1} - 1) = 2[/tex]
[tex]2 = 2[/tex]
=> всяко [tex]x \in (-\infty; 2)[/tex]

Обединяваме двата случая и отговорът е:

[tex]x \in (-\infty; 2][/tex]

[allier]

stranger, объркал си интервала на 2ри случай. По-голямо от 2 излиза и точно става отговорът от учебника.

[*moon_flower*]

Много ти благодаря, сега вече го разбрах.

[strangerforever]

stranger, объркал си интервала на 2ри случай. По-голямо от 2 излиза и точно става отговорът от учебника.

Така е, извинявам се за което.