Показателни уравнения

[red]

1. [tex]5.3^{x} + 7.2^{x}=73[/tex] Тук корена е 2, но представа си нямам как се намира.

2. [tex]5^{x-3}=7^{x^{2}-2x-3}[/tex] Тази задача я решавам като се избавя от единия корен, който е 3. Как може да се реши директно без избавянето?

3. [tex](a^{2}+a-6).2^{x}+2^{-x}=2a[/tex] Намерете стойностите на параметъра a, за които у-ето има един "+", и един "-" корен.
Тази задача я решавам така:
1) Определям, за кои стойности на a [tex]2^{x}[/tex]има смисъл чрез условията: [tex]\frac{c}{a }>0[/tex]и [tex]\frac{-b}{a }>0[/tex] ; D>0
2) Получавам двата корена от вида [tex]2^{x}=\frac{...+/- ...}{... }[/tex] ,където a (2;6)
3) Сега трябва да разбера, при кои стойности на a , x e положит. или отр.
4) Имам да реша 2 ирационални показателни параметрични уравнения, но тъй като[tex]2^{x}[/tex] е растяща функция (2>1), е достатъчно само да разбера кога [tex]2^{x} <1[/tex] ( тогава x<0) и [tex]2^{x}>1[/tex] (тогава x>0) относно a.
5) Получават се много сложни и дълги решения, и се отказах.

[martin123456]

а за кой клас е 1вата

[red]

За 11. клас е, ама какво значение има?

[martin123456]

ми може да се реши с изслледване на функция

[martin123456]

1. [tex]5.3^{x} + 7.2^{x}=73[/tex]
[tex]f(x)=5.3^x+7.2^x[/tex]
[tex]f'(x)=5.3^x\ln{3}+7.2^x.\ln{2}>0[/tex] => [tex]f(x) \nearrow[/tex]
=> уравнението има само едно решение. 2 го устройва, значи е то.

[martin123456]

2. [tex]5^{x-3}=7^{x^{2}-2x-3}[/tex]
логаритмуваме
[tex](x-3)\ln{5}=(x^2-2x-3)\ln{7}[/tex]
[tex]D=16[/tex], [tex]x_1=3[/tex], [tex]x_2=-1[/tex]
[tex](x-3)(\ln{5}-(x+1)\ln{7})=0[/tex]
[tex]x_1=3[/tex], [tex]x_2=\frac{\ln{5}}{\ln{7}}-1=\log_{7}{5}-1=\log_{7}\frac{5}{7}[/tex]

[martin123456]

3. [tex](a^{2}+a-6).2^{x}+2^{-x}=2a[/tex] Намерете стойностите на параметъра a, за които у-ето има един "+", и един "-" корен.
[tex]2^x=y>0[/tex]
търсим корени [tex]x_1 > 0[/tex] и [tex]x_2<0[/tex] <=> [tex]y_1 > 1[/tex] и [tex]0<y_2 <1[/tex], където [tex]y_{1,2}[/tex] са корени на [tex](a^2+a-6)y+\frac{1}{y}=2a[/tex], т.е. на [tex](a^2+a-6)y^2-2ay+1=0[/tex]. трябва ни [tex]D>0[/tex] <=> [tex]a^2-a^2-a+6=-a+6 > 0[/tex] + за корените разположението